Miohelson-Versuch und Relativitätstheorie.

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von t die Punkte x i ein dreidimensionales Kontinuum bilden. Dabei sollder Begriff „kräftefrei" empirisch definiert sein durch die Angabe be-stimmter Bewegungen, wobei wir wie üblich die Gravitations- und Zentri-fugalkräfte nicht als Kräfte in diesem Sinne ansehen wollen. Anstatt mitden Gleichungen (7) können wir auch mit den Differentialgleichungen

d* X* .( „ , „ „ dx° dx 1 dx 2 dx 3

( 8 ) x a x

operieren. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß dieFührungslinien die Extremalen des Integrals I = J L dt sind, ist bekanntlich

die Existenz einer Lösung L (x { x*) = L [x^x^x 2 x 3 ^ C ^- des

simultanen Systems partieller Differentialgleichungen

/ n s d 1 L ■ . d 2 L . ■ dL „

( 9 ) : r qpj -\ : r X3 : = 0 .

dx v dx 3 8x l dx J da3*

Die Frage, ob die Welt eine Maßbestimmung gestattet, solchermaßen, daßdie Führungslinien geodätische Linien werden, ist also empirisch zu lösen :dies ist dann und nur dann der Fall, wenn die empirisch bestimmtenFunktionen cp i die Eigenschaft haben, daß sie die Integrabilitätsbedin-gungen der Gleichungen (9) identisch erfüllen. Wird diesen Bedingungengenügt, dann kann jede Lösung L von (9) als Maßfunktion dienen; jedeLösung definiert eine mögliche Metrik. Diese Metrik hat insbesondere

die spezielle Riemannsche Gestalt L = wo dG° eine nichtentartetequadratische Differentialform ist, dann und nur dann, wenn sich für jedeFührungslinie ein solcher Parameter G finden läßt, daß die Gleichungen(8) durch Transformation auf diesen Parameter die spezielle Gestalt

W ^ + r Ȕiiw = 0

erhalten, indem die Funktionen rj k (x r ) überdies gewissen Integrabilitäts-bedingungen genügen, die von L. P. Eisenhart und 0. Vehlen aufgestelltworden sind' 25 ). Für den Fall des gravitationsfreien Feldes, der sich

durch die Gleichungen ^ = 0, also cp* =0 auszeichnet, erhalten wir

d G

z. B. als allgemeinste Maßfunktion

r „ fdx° dx 1 dx 2 d x a \ , dx' d „ , n , „

L = F A-iQTäTä de) + täi* F >

wo F x und F 9 beliebige Funktionen ihrer Argumente sind. Durch Spezia-

25 ) „The Riemann Geometry and its Generalization", Proc. Nat. Ac. Sc. 8 (1922),S. 19-23.