Über die Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.

Von

Aurel Wintner in Budapest.

Für die exakten Differentialgleichungen der Himmelsmechanik isttypisch die nichtlineare Differentialgleichung

(1) '¿-\-(p (t )z = X 2<p k (t )z k ,

k= O

wobei X einen Parameter bedeutet und die <p bekannte, nach 2 n perio-dische Funktionen sind.

(2) z -f- <p (t)z = 0

ist also eine homogene lineare Differentialgleichung mit periodischen Koef-fizienten, die bekanntlich wenigstens eine Eigenlösung von der Gestalt

(3) JJ^exp [(ß+ &)*!'- 1]

k

besitzt. Wir wollen nicht voraussetzen, daß es eine solche Lösung von (2)gibt, die einerseits von säkularen Gliedern frei ist, andererseits mit (3)ein Fundamentalsystem von (2) bildet. Wir ivollen also den Fall dermehrfachen Elementarteiler nicht ausschließen.

Können wir behaupten, daß (1) eine Lösung besitzt, die in eine kon-vergente Reihe von der Gestalt

(4) 22hÀ x ) ex P [(ÍQ + &)« J^T]

i k

entwickelt werden kann (wenigstens wenn |x] hinreichend klein ist), wo-bei g dieselbe Zahl wie in (3) bedeutet? Man setze q = a -f- x 1, wo-bei a und r reell sind. Wir werden die Frage bejahend beantworten indem Falle, wo a rational ist. Ist r = 0, so ergeben sich die periodischenLösungen der ersten bzw. zweiten Poincaréschen Klasse (genre), je nach-dem a verschwindet oder nicht (modi); ist t ^O, so ergeben sich asym-ptotische Lösungen. Es sei schon jetzt erwähnt, daß die Poincarésche