Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.

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im allgemeinen noch keine Lösung von (1) darstellt, sondern nur eineerste Näherung gibt.

Nach der von Hill herrührenden, von Poincaré und v. Koch präzi-sierten Theorie der charakteristischen Exponenten kann die Aufsuchungder bedingtperiodischen Lösungen des linearen Difïerentialsystems (11)auf die Methode der unbestimmten Koeffizienten gegründet werden; wirbeschäftigen uns, im Anschluß an eine wenig beachtete Arbeit von v. Koch 1 ),mit der Aufgabe, mit derselben Methode die bedingtperiodischen Lösungenvon (6) zu finden.

4. Die Hauptschwierigkeiten der Poincaréschen Himmelsmechanik'-)rühren bekanntlich davon her, daß identisch verschwindende charakteristi-sche Exponenten existieren 3 ). — Im Falle der asymptotischenLösungenhat Poincaré diese Schwierigkeiten auch nicht überwunden. Er erhältnämlich (übrigens mit einer nicht stichhaltigen Schluß weise) eine ge-wisse Schar von Funktionenreihen in t, welche Schar durch einen Para-meter fj. zusammengehalten wird; würde die Funktionenreihe bei einemfesten ¡u 0 konvergent sein, so würde sie eine asymptotische Lösung beidiesem Werte von ¡ j , darstellen. Nun sind die Reihen divergent; Poincarébeweist die Semikonvergenz und folgert bloß daraus die Existenz derasymptotischen Lösungen. — Ohne eine nähere Untersuchung wird aberdurch die Semikonvergenz die Existenz offenbar noch nicht verbürgt, da(wegen der Semikonvergenz) der Parameter einem Grenzprozesse zu unter-werfen ist; es läßt sich also a priori nicht behaupten, daß es ein ¡u b gibt,zu welchem eine asymptotische Lösung gehört. — Poincaré hat die Exi-stenz der asymptotischen Lösungen im Falle der Himmelsmechanik nichtbewiesen (seine späteren, bloß formalen Untersuchungen kommen hiernicht in Betracht); was von Poincaré behandelt wird, ist eine interessanteEigenschaft seiner Reihenschar, aber nicht mehr.

5. Die erwähnte Schwierigkeit umgehe ich durch einen Kunstgriff,der von Herrn Schmidt 5 ) in seinen analogen Untersuchungen über dienichtlinearen Integralgleichungen angewendet und seitdem von HerrnLichtenstein zur Behandlung von anderen schwierigen Fragen herangezogen

1 ) Bull. Soc. Math, de France 27 (1899), S. 215—227.

2 ) Acta Math. 13 (1890); Méth. Nouv. de la Méc. Cél. I—III. Paris (1892—1899).

3 ) Und zwar wegen der Existenz der klassischen Integrale (NB. das Integralder lebendigen Kräfte [Jacobisches Integral] isj zweifach zu zählen), also aus geo-metrischen Gründen (Transformationsgründen), wie in der Theorie der Gleichgewiehts-figuren. — In der Hillschen Perigäum-Theorie werden diese Exponenten bekanntlichmit Hilfe desselben Integrals eliminiert, aus welchem sie entspringen.

4 ) Méth. Nouv. I, chap. VII.

6 ) Math. Annalen 65 (1908), S. 370-399. — Vgl. v. Koch, 1. c. S. 221-222.