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A. Wintner.

wurde (Transformation des Kernes). — Die Hilfsmittel sind dabei dieTheorie der normalen Determinanten 6 ), deren Hauptsätze in dem zweitenAbschnitte zusammengestellt sind, und ein Existenzsatz (nebst Ab-schätzungen) über unendliche implizite Gleichungssysteme; der Beweis diesesExistenzsatzes geschieht ohne Schwierigkeit mit derselben Methode, dieHerr Lindelöf 7 ) in dem elementaren Falle angewendet hat.

Bei den periodischen Lösungen ergeben sich als Bedingungsgleichungenunendliche Systeme vom Typus

(12) 2 a ik y k = xf i (x; y 0 , y x , y_ 1 , ...) (i = 0, ± 1, ± 2, ...),

Je— — oo

wobei die Matrix || a iu j| normal ist und die f\ gewisse Potenzreihen vonunendlich vielen Veränderlichen bedeuten. Es kann nicht vorausgesetztwerden, daß diese nichtlinearen Bedingungsgleichungen mit Rekursions-formeln äquivalent sind. — Bei den asymptotischen Lösungen ist dieMatrix im allgemeinen nicht normal; ich zerspalte dort das System (12)in zwei unendliche simultane Teilsysteme. Das erste derselben wird mitder bei den periodischen Lösungen angewendeten Methode behandelt,während das zweite Teilsystem summarisch, bloß auf Grund des Existenz-satzes erledigt werden kann; bloß mit dem letzteren könnte man bei demvollständigen Systeme nicht auskommen.

Es sei übrigens bemerkt, daß der Existenzsatz nicht nur an dieTheorie der normalen, sondern auch an die der absolut konvergentenDeterminanten 8 ) angepaßt werden kann; vgl. auch den Anhang.

Die Realitätsdiskussion werde ich nicht durchführen; bei den perio-dischen Lösungen reduziert sie sich auf die Diskussion der Verzweigungs-gleichungen 9 ); bei den asymptotischen Lösungen tritt dazu noch ein an-derer Umstand hinzu; die Frequenzen der bedingtperiodischen Reihen sindnämlich hier nicht alle reell, was man nicht zu beachten pflegt; begnügtman sich mit der ersten Näherung, d. h. betrachtet man nur die Varia-tionsgleichungen (11), so verursacht freilich dieser Umstand in gewissenFällen keine Schwierigkeit, vgl. eine Arbeit von Herrn Hough 10 ).

6. Wir werden aus (6) nur eine Gleichung und nur einen Parameterbehalten und überdies voraussetzen, daß der Parameter bloß als Faktor

e ) v. Koch, Acta Math. 16 (1892-1893), S. 217-295.

') Bull, de Darboux 23 (1899), S. 68. — Vgl. meine Note Math. Annalen 95(1926), S. 544-556.

8 ) v. Koch, C. R. 116 (1893), S. 179-181.

9 ) Vgl. Lichtenstein, Math. Zeitschr. 1 (1918), S. 265—268.

10 ) In Darwins Scientific Papers, I, S. 117—119, Cambridge 1911.