Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.

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eintritt. Wir werden uns also mit der Differentialgleichung

(13) z + <p (t) z = X J] (p n (t) z"

n=0

beschäftigen, wobei x der Parameter ist und die cp nach 2 n periodischsind. Aus den Beweisen wird hervorgehen, daß der Übergang von (6)zu (13) unter sinngemäß entsprechenden Annahmen bloß auf eine Verein-fachung der Schreibweise hinausläuft.

Nach der Theorie der linearen Differentialgleichungen besitzt dielineare Differentialgleichung

(14) z-\-cp{t)z = 0,

da cp{t ) periodisch ist, wenigstens eine Eigenlösung von der Gestalt

(15) 2 •■= £ ¿s ex P [(e + k)tí^Í].

lt= — CO

Es wird für uns bequem sein, abweichend von der üblichen Normierung,als den charakteristischen Exponent die Zahl q zu bezeichnen. Nach dieserBezeichnung gehören nicht die rein-imaginären, sondern die reellen Expo-nenten zu den „stabilen" periodischen Lösungen. Der charakteristischeExponent kommt nur modulo Eins in Betracht.

Ist ri >1, so ist natürlich ausdrücklich vorauszusetzen, daß (11)partikulare bedingtperiodische Lösungen besitzt; in der Hill-BrownschenMondtheorie, bei Librationszentren usw. ist diese Bedingung bekanntlicherfüllt. Ich brauche also nicht vorauszusetzen, daß die allgemeine Lösungvon (11) bedingtperiodisch, d. h. von säkularen Gliedern frei ist. Nochweniger ist es notwendig, daß alle charakteristischen Exponenten von-einander verschieden sein sollen.

Den Fall der Himmelsmechanik können wir bei den asymptotischenLösungen aus Vorzeichengründen jedoch nicht behandeln. Wir könnenzwar die Bedingungsgleichungen auflösen und beweisen, daß die bedingt-periodischen Reihen für t = 0 absolut konvergent sind. Um aber die Kon-vergenz für 0^£>— oo oder für 0 <! t < -)- oo zu beweisen, müssenwir natürlich voraussetzen, daß die imaginären Teile der in der Partikular-lösung von (6) auftretenden charakteristischen Exponenten entweder alle^ 0 oder alle ^ 0 sind und diese Bedingung ist bei den Bewegungs-gleichungen bekanntlich nicht erfüllt.

Abgesehen von den „regulären" periodischen Lösungen (Abschnitt IV),beschäftigen wir uns, wie erwähnt, nur mit der folgenden Aufgabe: