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A. Wintner.

Q ist ein bekannter charakteristischer Exponent von (14); es wirdverlangt, die Lösungen

(16) JS7i?*i»(»)exp[(»e+ *)«][— 1]

i k

von (13) zu finden, wenn jcc| genügend klein ist.

Wir lösen diese Aufgabe in den folgenden Fällen:

a) q = 0 (Abschnitt V);

b)p = ^-, 1 < q (Abschnitt VI);

c) ß = o-(-r} / — 1, i2;0, CT = "g~' (AbschnitteVII—XI).

7. Es bleiben daher die beiden Fälle übrig:

d) q ist reell und irrational.

e) q = a + r| — 1, r2:0, o ist reell und irrational.

In der Mondtheorie ist bekanntlich der charakteristische Exponentreell (in unserer Normierung). Ist er auch rational, so kann unsere Auf-gabe gelöst werden; zwar sagt Herr Brown 11 ), daß dieser Fall [nämlich b)]auszuschließen sei, da sonst die Bedingungsgleichungen eine Unbestimmt-heit zeigen; doch ist dies, wie wir sehen werden, ein Versehen (oderwenigstens eine ungewohnte Terminologie). Es ist eine offene Frage, obunsere Aufgabe im Falle d) (in dem nicht praktischen Sinne des Wortes)gelöst werden kann. [Im Falle e) kann sie ebenso gelöst werden wie imFalle c).]

8. Ich möchte in diesem Zusammenhange ein Versehen von Poincaréerwähnen. Es folgt bekanntlich in einem Gebiete, das in dem Innerender zugehörigen Hillschen Grenzkurve liegt, aus der Existenz einer definitenIntegralinvariante die Poissonsche Stabilität fast überall. Poincaré be-hauptet, es gehe aus der Existenz der asymptotischen Lösungen hervor,daß die kursiv gesetzte Einschränkung nicht weggelassen werden kann.Nun sind in dem Felde, in das die Hillsche Variationskurve eingebettetist, die charakteristischen Exponenten reell. Folglich liegen die im klassi-schen Sinne asymptotischen Kurven, falls sie existieren, anderswo. Mithinist die Frage der Existenz der erwähnten Nullmenge unerledigt. Poincaréwurde offenbar durch seinen Satz Méth. Nouv. I, S. 226 irregeführt.

9. Die Lösung unserer in dem sechsten Punkte gestellten Aufgabekann auf die Mondtheorie unmittelbar nicht angewandt werden. Dennwir betrachten den charakteristischen Exponent als von vornherein gegebenund variieren ihn nicht mit x, während die Natur der besonderen mond-theoretischen Konstantendeutung eine solche Variierung des charakteristi-

ll ) Amer. Journ. of Math. 15 (1893) S. 250.