Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.

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sehen Exponenten erfordert. Doch kann man den analytischen Kern desHill-Brownschen Prozesses 13 ) folgendermaßen herausschälen :

Man geht von einer periodischen Lösung (2) aus; sie ist die HillscheVariationskurve. Den von Hill 13 ) als Desideratum formalierten direktenExistenzbeweis derselben habe ich anderswo 14 ) geführt, mit einer Methode,die auch bei der die Mondparallaxe berücksichtigenden Kurve von HerrnBrown 1S ) angewendet werden kann.

Es sei nun die periodische Lösung (2) gegeben. Man macht denAnsatz (5) und erhält so die Differentialgleichungen (6). Die Exponentensind reell. Sind sie auch rational, so können wir unsere Aufgabe lösen:der Ansatz führt zu einer periodischen Lösung. Wir wiederholen nun mitdieser periodischen Lösung den Prozeß, den wir auf (2) angewendet habenusw. in inf. Es ist natürlich nicht bewiesen, und es ist auch nicht zuerwarten, daß dieses Verfahren in dem analytischen Sinne des Worteskonvergent ist.

10. Es sei schließlich bemerkt, daß analoge Untersuchungen auch indem komplexen Gebiete möglich sind.

I. Existenzsätze über unendliche implizite Gleichungssysteme.

Hauptsatz. Es sei y 1 , ,...; fa, •..)} eine solche Folge

von Potenzreihen von unendlich vielen Veränderlichen, daß es positiveZahlen

a , <x, ôj , bç, , ..., A 1 , A 2 , •.., J\l^ , il 5 « • ■

gibt, derart, daß, wenn f { die beste Majorante von bedeutet, die fol-genden Ungleichungen gleichzeitig bestehen:

f i {a-,b 1 ,b„,...]A 1 ,A„,...)£M i (¿ = 1,2,...).

Dann besitzt das System

Vi = zfi (¿ = 1,2,...)

in dem Bereiche

I X I <[ min(a, «); \¡x 1 \^A 1 , \ /i^ | ^ A 3 , ...eine und nur eine Potenzreihenlösung

{ Vi ( X j /^15 /*3 > •••)}>

die den Bedingungen

Vi( ...) = 0 (¿ = 1 ,2,...)

12 ) S. z. B. Brown, Amer. Journ. of Math. 17 (1895) S. 318—358.

13 ) Coli. Math. Works I. S. 287. Washington 1905.

") Math. Zeitschr. 2t (1925) S. 259-265.

16 ) Amer. Journ. of Math. 14 (1892), S. 141-166.