292 A. Wintner.

genügt ; es gelten dabei in dem erwähnten Bereiche die Abschätzungen

I «/.(«; Pi, . ..)| ^ (i = 1,2,

Aus dem Hauptsatze folgt leicht eine Verallgemeinerung desselbenfür den Fall, wo man mehrere x hat. Es seien die f si solche Potenz-reihen

f,Á x i> • • •» x > Vi' y*> • Pi> ■ • •) ( s = 1» 2, ..r; i = 1, 2, ...),

daß es positive Zahlen

cc, a , j 6,2 , j , -/lo , .. •, ? ^1^2 j . • •gibt, derart, daß

C£ ^ / s j (ß , O, . . . , ß , , 6o > • • • j "^1 > ^2 ' * * ") =

(s = 1, 2, ..., r; ¿ = 1, 2,...).

Dann gibt es ein solches /?(>0), daß das System

Vi= (i — 1 ,2,...)

S=1

in dem Bereiche

I X x I = ß> I ®9 I = ^ ' • • " ' I ®r I = ß ' I A®1 I = *^1 > I I ¿ "^'2 > • • •

eine und nur eine Potenzreihenlösung

{y.(x i, x.,, ...,x r ; ju lt ju 2 ,...)}besitzt. Es gelten in dem erwähnten Bereiche die Abschätzungen

I Vi ( X 1 s ' ' " ' ' ' /^1 ' /^2 ' * • *) I ^ (¿ - - 1 ,2, . . .)

und es verschwinden natürlich alle y, wenn alle x verschwinden.

Um diesen Satz aus dem Hauptsatze abzuleiten, setzen wir zunächst

F¡= Zx s f si , also

Vi = Fi (¿ = 1 ,2,...).

Man hat offenbar

Fi(ß,ß, A 1 ,A i ,...)£M i rß (¿ = 1,2,...),

wenn

0 < ß <j a.

Nach dem Hauptsatze besitzt also das System

y i =x 0 F i (¿ = 1,2,...)

in dem Bereiche 1G )

I x 0 1 = y ~ß ' \ x i\£ß>\ x *\ = ß' • • •' I X r I = ß > I i^l ! = ' I /"2 I = ^2 ' • • •

16 ) x o g e ^t nämlich in die F¡ nicht ein.