294

A. Wintner.

II. Sätze aus der Theorie der normalen Determinanten.

Es sei <5^=1, ö ik = 0 (i, Je = 0, ± 1, ± 2, ...; i =j= k).

Die Matrix ||a ifc || wird normal genannt, wenn 17 )

+ CO + CO

U U Í I < + °°"

•£= — co Jc= — co

Dann läßt sich durch Abschnittbildung zu dem Symbole det (a ik ) eineZahl D eindeutig zuordnen.

Man setze ä ile = a ki . Die Matrix ||a iJk || ist mit der transponiertenMatrix ¡ají gleichzeitig normal.

Die Matrix, die in der normalen Matrix ||o <ft || dem Elemente a ik ad-jungiert ist, ist normal. — Es bezeichne a ik bzw. ä ik den Wert derjenigennormalen Determinante, die in der Matrix ||a is || bzw. ||o ffc || dem Elementea ik bzw. a ik adjungiert ist. Dann gilt der Satz:

if \a ki \ = 0(1); + £ |a H ¡ = 0(l).

Je— — co Jc— — œ

In dieser Arbeit sind die Landauschen Symbole immer so zu ver-stehen, daß der Stellenzeiger in den beiden Richtungen ins Unendlichewächst und daß die Abschätzung nicht nur für fast alle, sondern auch füralle Werte des Stellenzeigers gilt.

Das System

(» = 0, ± 1, ± 2, ...)

h = — co

läßt bei allen je beschränkten b { - Folgen dann und nur dann eine be-schränkte Lösung zu, wenn D=(=0. Man erhält aber einen falschen Satz,wenn man das kursiv gesetzte Wort unterdrückt; auf diesem Umständeberuht das Prinzip der Transformation des Kernes; auch ein Versehen vonPoincaré, betreffend die periodische Lösbarkeit bzw. periodische Nichtlös-barkeit gewisser Differentialgleichungen, hängt mit diesem Umstände zu-sammen, wie es aus dem Abschnitt V hervorgeht.

Es gilt aber der folgende Satz: Das obige System läßt bei einerbeliebig festgehaltenen beschränkten b { - Folge dann und nur dann eineeindeutig bestimmte beschränkte Lösung zu, wenn D =j= 0; und zwar manhat dann

+ CO

Vi = 1) Zj b k aki (* = o, ±1, ±2, ...).

k—- oo

17 ) Wir bezeichnen den absoluten Betrag der Zahl A t u durch ! yl¡^ j, den Wertder zu der Matrix ||.A(fc|| gehörigen Determinante, falls er existiert, durch det(-4,ü)