296 A. Wintner.

IY. Periodische Lösungen der ersten Klasse. Der reguläre Fall.

Es sei die Differentialgleichnng

(1) ¿ + <p(t)z = X 2!<p n (t)z n

71=0

vorgelegt; t ist die reelle unabhängige Veränderliche, x ist ein Parameter,<p(t)= 2 c fc exp(Ä:i] , -l),

(2) J - + ;

<p n (t) = y, c< n) exp (Je tj — 1), («. = 0, 1, 2, ...)

k=- <*>

sind gegebene Funktionen. Wir setzen voraus, daß

(3)

+ co

2 jcj < + oo;

u h I

: — 00

I e* n) I < + 00 (» = 0,1,2,...),

k= — ce

co , + ce \

und daß die Potenzreihe I 2 I c i"' ! ) 2 " einen von Null verschiedenen

71=0 Jc=~ co

Konvergenzradius besitzt. Da eine Ähnlichkeitstransformation von z dieGestalt von (1) unverändert läßt, können wir gleich voraussetzen, daß

w ¿(2\<P\){ 2-?)"< + <*>;

n=0 k= — co k= — cd

statt ^ soll immer 1 gelesen werden.

Versucht man den Ansatz

(5) 2 =¿7^exp(fc*pi)

k= — co A

und setzt man (2) und (5) in (1) ein, so ergibt die Vergleichung derKoeffizienten der darin beiderseits stehenden Fourierreihen das folgendeunendliche nicht lineare System von Bedingungsgleichungen:

+

(6) 2J a tt y 1t = xy> i (y 0 ,y l , y_ t ,...) (» = 0, ± 1, ...),

k= — oo

worin

«0*=-^ (k =.0, ± 1,...),

a ik = -^ (i, k=±l, ±2,...;i + k),

k

(?) c

a u = 1-% (.*= ±1, ±2, ...);

I

Vi - - °!°>- 2"# », - 2 2 - • (.'-0, ± 1, - - ■)•

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