Differentialgleichungen der Himmelsmechanik. 297

Da so entsteht; daß

+ ®

2J ( ^7 c *"' ¿ J — 1 )) (

k= — co

+ CO

= y* exp(fci}' —1)

n— 0 k— — co &= —co

+ CO

k= — co

gesetzt wird, so ist nach (4)

2 ñ(i,i,i, ...)< + °°.

&= — CO

um so mehr

(8) ^-(1, 1,1,...) = 0(1).

Andererseits ist die Matrix ||a ift || normal, da nach (7) und (3)

+ CO-J-CO +CO -f-co+co

i=—colc=—ca i= — co ^ k=— coi=— co

+ CO -f CO + CO

== 1 +1 c 0 1 ^7 -i- ^7 i^7i c il<

¿= — OO ^ i=— 00 ^ ¿=—00

CX).

Setzen wir zunächst voraus, daß

(9) D = det(a iÄ ) 4= 0.

Dann können wir nach der Theorie der normalen Determinanten dasSystem (6) in der Gestalt

+ »

( 10 ) Vi — x fi'i fi = ¿ 2j y-\ aH ■ 0 = o, ±i,...)

k= - co

+ CX

darstellen, wobei ¿ |a il | = 0(l). Mit Rücksicht auf (8) ist also auch

Jc= — CO

/¿(1,1,1,...) = 0(1). Nach dem Existenzsatze gibt es also ein solches ß,daß durch (10) die y { als solche, in dem Gebiete \x\<ß reguläre Funk-tionen definiert werden, daß in diesem Gebiete

( n ) |y<(®)]'âi (* = 0, ± 1, ...).

Damit ist die formale Existenz und zugleich auch die Konvergenzvon (5) bewiesen. Daß letztere zwei Sachen wesensgleich sind, hat beieinem anderen Problem schon Poincaré 18 ) gefunden; bei Poincaré gibt eseine Rekursionsformel, bei uns nicht.

18 ) Journ. de Math. (4) 1 (1885), S. 172-196.

Mathematische Annalen 96.

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