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A. Wintner.

Die Existenz und die Stetigkeit der zweiten Ableitung von z folgtaus (5) und (11) unmittelbar noch nicht, wohl aber mit Heranziehung von

(1)' Z= -<p(t)z + x jjcp n (t)z n ,

n=0

da wir die Reihe (5) mit Rücksicht au! (4) und (11) in die rechte Seitevon (1)' einsetzen können.

Ist also (9) erfüllt, so sind die y¡(x) eindeutig bestimmte reguläreFunktionen; ist im besonderen Ç9 0 (i) = 0, so ist mithin y.(x) = 0(» = 0, ± 1, ...), da dann 2 = 0 eine Lösung von (1) darstellt. Anderswird die Sache stehen in dem folgenden Abschnitt, falls man die Zahlen-folgen gehörig normiert.

V. Periodische Lösungen der ersten Klasse. Der Verzweigungsfall.

Es sei jetzt det(a iÄ ) = 0. Der Rang r von ||o jfc || ist also 1 -Es sei zunächst r — 1 .

Es seien

(12) { d £ >; {d t }solche Zahlenfolgen, daß

(13) J?KI<+°°; H \<i k \< + °o.

1= — CO k= — CO

Setzt man dann

( 14) ßjk = d'à; d i d k (i, k — 0, + 1, ...),

so ist nach dem dritten Abschnitt die Matrix ||a ¿ J| normal, und nach demPrinzip der Transformation des Kernes können wir voraussetzen, daß

(15) 4 = det(a.J =t=0.

Es ist nach (14)

-(- CO -f CO -f- CO ^

2 a il: y k = 2 cc ilt y k + u d^yj

Je— — CO Jc= — CO k=— CO

setzt man also

+ ® ^

(16) x 1 = — JEd lt y k (Verzweigungsgleichung),

k= — co

so kann (10) in der Gestalt

+ CD

(17) J! ct il! y k = xyj i + x 1 d i (* = 0, ±1,...)