Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.

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dargestellt werden. Das System (17) kann man aber nach der Theorieder normalen Determinanten mit Rücksicht auf (15) in der Gestalt

+ CO +00

(is) (* = o, ± i >...)

k= — CO Je— — œ

schreiben, wobei

(19) £ |««|=0(1).

k— — CO

Man hat nach (8), (13), (19)

+ CO + CO

% -¿ñ(i,i,i,...) l « w l = ó(i); \ j?d*«"=*o(i).

k= — CO k= — CO

Nach dem Existenzsatze gibt es also ein solches ß, daß die y i durch (18)als solche, in dem Gebiete \x\<ß] \ x 1 \ < ß reguläre Funktion von xund x 1 definiert werden, daß in diesem Gebiete

(20) Syi(®.«i)l¿l (* = 0, ±1,...);

man hat ferner

(21) ^.(0,0) = 0 (i = 0, ± 1, ...).

Mit Rücksicht auf (13) und (20) können wir diese y i (x, x x ) in dieVerzweigungsgleichung (16) einsetzen. Es ergibt sich so die Relation

(22) x 1 = - s Ky^x, »J.

k— — co

In dem Punkte x = x i = 0 verschwinden nach (21) die beiden Seiten von

(22). Durch (22) wird also x 1 als solche im kurventheoretischen Sinneanalytische Funktion von x definiert, welche mit gehöriger Annäherung desPunktes x = 0 verschwinden kann bzw. für x — 0 erklärt ist und = 0.Es sei x 1 (x) diese Funktion.

Um feste Vorstellungen zu haben, setzen wir etwa voraus, daß x 1 (x)eine solche, bei x = 0 algebraisch verzweigte Funktion ist, deren alle beix = 0 liegende Zweige verschwinden für x = 0. Es gibt dann ein solches /,daß I x x (x) I < ß, wenn Ist gleich y^Lß, und setzen wir

Vi( x ) — Vi( x > x i(®))j so ist nac h (20)

(23) ! y i I {x) I 1, wenn | x \ <y (i = 0, ± 1, .. .)•

Offenbar ist {y { (x)} eine Lösung von (18), also auch von (10).Daraus und aus (23) ergibt sich die Existenz der bei (6) versuchtenperiodischen Lösung wie vorher.

Ist r> 1, so setze man statt (14), (16), (17) usw. bzw.

(14)' « ifc = a ift -2X !g) $\

S=1

20*