Differentialgleichungen der Himmelsmechanik.

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Wir versuchen den Ansatz

(29) 2= JJ -a- exp t—.

& = — CO

Bis auf die Wahl der ¿-Einheit, haben wir mit einem schon behandeltenProbleme zu tun. Es bleibt zu beweisen übrig, daß die Lösungen, zuwelchen der Ansatz (29) führt, sich nicht alle zu Lösungen der erstenKlasse entarten, d. h. daß (29) auch zu solchen Lösungen führt, bei denenein solches i 0 (mod q)} existiert, daß Y i (x) nicht identisch verschwin-det ; also zu solchen Lösungen, deren primitive Periode größer ist als 2n.Das System

+ CO

(30) i 2? = (* = o, ±1, ...)

Jc= —CO

soll so zu (28), (29) gehören, wie (6) zu (1), (5) gehört. Dann ist dieMatrix ||-4 ifc || normal und das zu (30) gehörige homogene System, d.h.das System

(31) 2 0 (¿ = 0, ±1, ...)

Tc— — co

gehört so zu der Differentialgleichung

(32) Z+0(t)Z = 0,

wie (25) zu (24); mit anderen Worten, der Ansatz

+ " T it |LT

(33) Z — yj 4aexp - -

i— — CO ^

führt zu den Bedingungsgleichungen (31).

Jede Lösung von (24) ist eine Lösung von (32). Daraus folgt, daßjede solche Lösung (24), die von der Gestalt (27) ist, identisch ist miteiner solchen Lösung (32), die von der Gestalt (33) ist. Es entsprichtmithin einer jeden solchen Lösung von (2-5), welche der Bedingung

+ CO

yj ' ' < + co genügt, in eindeutiger Weise eine solche Lösung von

7, JC

K= — CO

4- co

I*

(31), welche der Bedingung 5] -—J— < + co genügt. Diejenigen Lösungen

7 .-r* k "

A/ — CO

von (31), die in diesem Sinne aus den Lösungen von (25) abgeleitetwerden können, sollen als entartete Lösungen von (31) bezeichnet werden.

Da — ^ 0 (mod <?)] ein charakteristischer Exponent ist, so besitzt(31) wenigstens eine nicht entartete Eigenlösung. Da eine solche vonden entarteten Lösungen offenbar linear unabhängig ist, so ist mithin die