304 A. Wintner.

*»— i||r.«*L, (1 = 1,2,...),

(H)

\ 2 V»z n \U=o iJi

^ ji (je+i\' 2

? + n-ji J

j 1

(j = 1,2,...; i = ± 1, ± 2, ...),die h s ind also gegebene Potenzreihen der y.

Wir können dann das System (9) folgendermaßen zusammenfassen:

(12) 2 a ( ây jli =xh ji (7 = 0, 1, ¿ = 0, ± 1, ...)•

k— — co

Es gelten dabei, wie nachträglich gezeigt werden soll, für alle Werte derStellenzeiger die Abschätzungen

(13) + £ Z Uu~ô ik \<j£e<+co,

i— —00 Tc= —CO J

(14) ^(1, 1, 1,

J J

VIII. Asymptotische Lösungen. Zerspaltung der Bedingungsgleichungen.

Wir setzen

+ CO

( 15 ) 9ji (•*■, y oo > y oi » yîo > • ■ •) = —J { a n¡ ^iu) yj^ -)- x

k— — co

(j = 0,1, ...; i= 0, ± 1, ...).

Dann ist nach (13) und (14)

(16)^(1,1,1,1,...)! if 2 | off - ô ilc I + Ä yi (1, 1, 1, ...) ^

i— — CO k — — CO J

0 = 0, 1, ...; i = 0, ± 1, ...).

Es bedeute e eine positive Zahl. Nach (16) gibt es ein solches N s , daß

(17) 3^(1,1,1,1,."..)^« (7 = ^ + 1,^+2, ...; ¿ = 0, ±1,...).

Es bedeute j 0 einen festen nicht negativen Stellenzeiger, der nichtgrößer ist als N e . Nach (13) ist die Matrix |¡ || gewiß normal. Da qein charakteristischer Exponent ist, so ist der Rang von || a¡l- || größerals Null. Um die Schreibweise zu vereinfachen, setzen wir voraus, daßdie iy f + l Matrizen ¡| |[ alle vom Range Eins sind. Es seien

(18) {d joi }; {d 3 i } (j 0 ist fest)