Differentialgleichungen der Himmelsmechanik. 311

und für die übrigen h

I" 2J <Pn *"] n

K(hi, : =o : Ú

j h+±

I ji

\je+J I

ß ^ ü konst

= 2~ ^ i

, . , ..2 . .2 2== .2 2

(jô+î) +J J I J

Anhang.

Zur Hilbertschen Theorie der unendlich vielen Veränderlichen.

Es bedeute {f { (x] y 1 , y 2 , ...)} eine solche Folge von reellen Potenz-reihen, daß

(1) ü[fi(a; b,b, ...)]"< + oc, a> 0, 6>0.

i

Es bedeute \\a ik || die Matrix einer reellen beschränkten 20 ) Bilinearform, dieeine (eindeutig bestimmte, reelle) beschränkte Reziproke besitzen soll;es bezeichne ||6 jfc || die Matrix der letzteren. — Wir behaupten, daß dasnicht lineare System

(2) Ua ik y k (x) = xf i (x; y t {x), y 9 {x), ...)

k

in einem gewissen Intervalle

(3) —ß<x<ß {ß^ a )eine und nur eine reelle reguläre Lösung besitzt, derart, daß

(4) 2[yi(x)Y < konst,falls (3) erfüllt ist.

Betrachten wir das lineare System

(5) Ua i i c y k = xf i (x;r¡ t) 2 , . .

k

wobei X und die r¡ reelle, den Ungleichungen

(6) \x\ <La; \Vi\^i¡b> ¡la I ^ b ■» • • •genügende Zahlen bedeuten. Man hat nach (1)

(7) 2 [f t (x; 2 < k °nst,

i

falls (6) erfüllt ist. (5) wird nach bekannten Sätzen durch

(8) y i = xl]l>i 1 cfi c (x;v 1 >y> s ,---)

k

20 ) Vgl. E. Schmidt, Rend. Palermo 25 (1908), S. 74—77.