Über den Zusammenhang zwischen den definierendenGleichungen und der Idealtheorie in algebraischen

Körpern.

(Erste Mitteilung.)

Von

öystein Ore in Oslo.

In den Untersuchungen über den Zusammenhang zwischen der Theorieder Ideale und den höheren Kongruenzen hat Dedekind versucht, die Ver-bindung zwischen den Idealeigenschaften und den Eigenschaften der defi-nierenden Gleichung eines Körpers zu bestimmen. Seine Untersuchungensind aber auf Gleichungen von spezieller Form beschränkt und auch fürdiese erhalten seine Resultate nicht die notwendige Allgemeinheit, indemdie sogenannten gemeinsamen außerwesentlichen Diskriminantenteiler auf-treten. Bei seinen Untersuchungen über die Verzweigungstheorie deralgebraischen Körper wird der Diskriminantensatz unter gleichzeitiger Heran-ziehung von mehreren erzeugenden Gleichungen erreicht.

Die Kroneckersche Theorie der Ideale mit der Einführung von un-abhängigen Variablen als Hilfsgrößen leistet für die Verzweigungstheorienicht mehr als die Dedekindsche, und man kann daraus auch keineSchlüsse auf die Eigenschaften der definierenden Gleichungen ziehen.

Bei der Henselschen Theorie der Ideale wird der Körper durch23-adische und 7z>adische Zahlen erweitert, und man erhält in diesem er-weiterten Körper durch den Henselschen Hauptsatz direkt einen Zusammen-hang zwischen der Primidealzerlegung einer Primzahl und der Zerlegungder definierenden Gleichung im p-adischen Bereiche.

In dieser Arbeit werde ich zeigen, wie man in voller Allgemeinheitden Dedekindschen Gedankengang durchführen kann und wie man sehrnatürlich unter Anwendung der Theorie der Primzahlpotenzmoduln für einefeste endliche Potenz p a und ohne Adjunktion von Hilfsgrößen diese Pro-bleme behandeln und lösen kann. Speziell gebe ich eine neue und aus-

Mathematische Annalen. 96. 21