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0. Ore.

nahmslose Behandlung der Verzweigungstheorie bei den algebraischenKörpern.

Diese Untersuchungen beruhen auf dem folgenden Hauptsatz, der demHenselschen analog ist:

Wird der Körper durch die irreduzible Gleichung f(x) = 0 definiert,und besteht für f(x ) die Zerlegung in irreduzible Faktoren (mod p"),a > ô -)- 1,

f(x) = f-iWf^x) ... /;.(a;)(modp a ),

wobei der Grad von f¡(x) gleich n i ist, so hat die Primzahl p die Prim-idealzerlegung

p = Npî' = p n >.

Die Diskriminante von f(x) ist genau durch p s teilbar.

Von diesem Satz ausgehend, behandle ich zunächst die Eigenschaftendes Führers; und durch Einführung von neuen Führerbegrifi'en (Partial-führern in bezug auf Primzahlen und Primideale) wird gezeigt, wie sich derFührer zerlegt; es wird auch gezeigt, wie man für die definierende Gleichungeine Normalform angeben kann, wobei alle Partialführer der Primidealegleich Eins werden. Weiter führe ich die Abbildungskörper für die Prim-ideale ein und studiere damit u. a. die Eigenschaften des Index; es ergibtsich daraus eine neue Formel für die Zusammensetzung des Index.

Dann werden die Eigenschaften der Körperdifferente und Körper-diskriminante behandelt und gezeigt, wie man durch Einführung der Supple-mentzahlen diese Größen ohne Ausnahme bestimmen kann. Die Dedekind-Henselsche Ungleichung für die Differentenexponenten wird unter Anwen-dung eines einfachen Hilfssatzes in ein paar Zeilen bewiesen; durch diesenHilfssatz erhält man auch den Lückensatz für die Supplementzahlen, wo-durch der sonst übliche Ausnahmefall vollständig erledigt wird. Zuletztgebe ich einige Existenzsätze für algebraische Körper mit vorgeschriebe-nen Idealzerlegungen und Differentenexponenten, insofern sie nach denobigen Sätzen mit der Primidealzerlegung verträglich sind; diese Sätze sindauch für mehrere andere Untersuchungen von Bedeutung. Es wird auchhier die genaue obere Grenze der Multiplizität angegeben, womit einePrimzahl in der Diskriminante eines Körpers n- ten Grades aufgehen kann.Ich mache'speziell darauf aufmerksam, daß es unterhalb dieser GrenzeLückenzahlen gibt, welche nicht als Diskriminantenexponenten vorkom-men können.