Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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Kapitel I.

Einige Sätze über höhere Kongruenzen für Primzahlpotenzmoduln.

§1-

Ein Hilfssatz.

Die hier gegebene Behandlung der Theorie der algebraischen Zahlenberuht auf der Theorie der höheren Kongruenzen für Primzahlpotenzmoduln,und ich werde daher in diesem Kapitel die notwendigen Theoreme ausdiesem Gebiet aufstellen.

Bekanntlich hat die Theorie der höheren Kongruenzen für Primzahl-potenzmoduln nicht denselben einfachen Charakter wie für Primzahlmoduln,und namentlich gilt nicht mehr der Satz von der eindeutigen Zerlegungder Polynome in irreduzible Faktoren. Wie ich aber in Kapitel 2 zeige,wird dieser Satz durch einen anderen Hauptsatz ersetzt.

Es soll zunächst ein wichtiger Hilfssatz entwickelt werden.

Es seien

f(x) = a 0 x n -I- a x x n ~ x + .. • + a n ,g (x) = b 0 x m + b 1 X™- 1 + ... + b m

zwei Polynome, wobei hier, wie sonst immer unter Polynom eine ganzerationale Funktion mit ganzen rationalen Koeffizienten verstanden wird.Weiter sei

R = R(f(x), g(x))

die Resultante von f(x) und g{x), wobei R eine ganze rationale Zahl ist.Es wird R 4= 0 angenommen, so daß die Polynome f(x) und g(x) keinengemeinsamen Faktor haben.

Mit p soll immer eine rationale Primzahl bezeichnet werden. Es seip" die genaue Potenz, worin p in der Resultante R aufgeht.

Wenn dann F(x) ein beliebiges Polynom vom Grade kleiner als n -f- mist, also

F{x) = c 0 + c, x"+>»~ s + ... + c n+m _ 1 ,

so soll bewiesen werden, daß man immer solche Polynome f x [x) und g x (x)bestimmen kann, daß

(1) f{x)g 1 (x) + g{x)f 1 {x) = peF(x)( mod p a )

ist, wo a > Q eine beliebige ganze rationale Zahl ist und wo weiter dieGrade von /j (x) und g 1 (x) kleiner als n bzw. m sind, also

fi (x) = A 0 X»- 1 + A x x n ~ 2 + ... + A n _ 1

g t (x) — B 0 x™- 1 + B x x m ~ 2 4- ... + B m _ 1 .

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