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Ö. Ore.

Die Richtigkeit dieser Behauptung beweist man leicht, indem man in

(1) die Produkte ausmultipliziert und die Koeffizienten der entsprechen-den Potenzen von x vergleicht. Man erhält so das System von linearenKongruenzen

a O ß O + ^0-^0 — P e c o

(2) B 0 -\- a 0 B 1 -\- b 1 A 0 + b 0 A 1 V e c i (mod p«)

und man sieht leicht, daß die Determinante dieses Systems gleich R ist.Durch passende Multiplikation mit Unterdeterminanten erhält man aus (2)Kongruenzen von der Form

R A¡ == p^ií ¿ (mod p") (i = O, 1, ... n — 1),RB { = p e mod p a ) (i = 0, 1, .. . m — 1),

w oßi i und H i ganze rationale Zahlen sind, welche als lineare Ausdrückein den Koeffizienten c f dargestellt werden können. Setzt man nunR = p(.'R\ wobei R' also nicht durch p teilbar ist, kommt

A¡ = R" K¡( mod p a ~ e ),

B { = R" H¡( mod p a ~e),

wobei

R' R" = 1 (mod p a ~e)

ist. Umgekehrt folgt leicht, daß diese Werte von A¡ und B¡ eine Relationvon der Form (1) geben.

Wie man auch bemerkt, sind die Koeffizienten A¡ und B¡ (mod p a ~e)eindeutig bestimmt und wenn daher f„(x) und g„ (x) zwei andere Poly-nome sind, wofür die Gradzahlen kleiner als n, bzw. m sind, und weiterdie Kongruenz

f(x)g^(x) + g(x) /" 2 (x) = ps^(a;)(mod p")besteht, so hat man notwendigerweise

fi (®) = U («). vA x ) B |a («)(rnod p"-e).

Diese Resultate können folgendermaßen ausgesprochen werden:

Satz 1. Wenn die Resultante der Polynome fix) und g (x) genaudurch p e teilbar ist und weiter F (x) ein gegebenes Polynom vom Gradekleiner als n + m bezeichnet, kann man immer Polynome ( x ) undg^{x) mit Gradzahlen kleiner als n und m so bestimmen, daß

f( x )9i ( x ) + 9 ( x ) fi ( x ) = V o F(x) (mod p a ),

und die Polynome f 1 (x) und g 1 (x) sind dann (mod p a ~ e ) eindeutig be-stimmt.