Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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§ 2.

Faktoren (1er Polynome (modjp").

Ein Polynom cp(x) heißt Teiler von einem Polynome f(x ) (mod p a ),wenn eine Kongruenz

f[x) = cp (X) cp 1 (x) (mod p a )

besteht.

Ein Polynom soll reduziert heißen, wenn der Koeffizient der höchstenPotenz von x nicht durch p teilbar ist. Im allgemeinen kann man dannannehmen, daß dieser Koeffizient gleich eins ist.

Im folgenden werden auch nicht-reduzierte Polynome vorkommen, wieich aber zeige, kann man für solche Polynome einfach eine Normalform(modp") angeben. Es gilt nämlich der Satz:

Satz 2. Es seien in

f{x) = a 0 x n + a x x»- 1 + ... + x r+1 + a n _ r x r +... + «„

alle Koeffizienten a 0 , a lt ..., a n _ r _ 1 durch p teilbar, während a n _ r nichtdurch p teilbar ist. Es besteht dann eine Zerlegung

f(x) = g(x) (A -j-ph(x)) (mod p a ),

wobei g ( x ) ein reduziertes Polynom vom Grade r ist, h (x) ist ein Poly-nom, und A bezeichnet eine durch p nicht teilbare Konstante, und weiterist diese Zerlegung (modp°) nur in einer Weise ausführbar.

Dieser Satz ist schon von Schönemann 1 ) bewiesen, ich gebe aberhier einen anderen Beweis.

Es besteht die Kongruenz

f{x) = a n _ r {x r + b 1 x r ~i + ... + b r ) = a n _ r g (1 >(x), (mod p),

wenn nur die Zahlen b { so gewählt sind, daß

^i a n-r — a n-r + i ( mod P)

ist, was offenbar immer möglich ist. Daraus folgt, daß man A — a n _ rsetzen kann.

Der Satz wird jetzt durch vollständige Induktion bewiesen. Es be-stehe die Kongruenz

f(x) = 0 <a-1> (a:) (A +ph {a ~ 1) (x)) (mod p"' 1 )

und nach der Voraussetzung über die Eindeutigkeit kann man dann

<7< a) (x) — g (a ~ 1) (x) + p a ~ l G (x),

A + p h (a) (cc) — A + P A <0-1) (x) -|- p a_1 H(x)

1 ) Th. Schönemann, Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlensind, Journ. für Math. 32 (1846), S. 93-105, § 54.