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Ü. Ore.

annehmen. Die Zusatzpolynome G(x) und H(x) werden dadurch bestimmt,daß die Relation

f{x) =- (^ <a_1) (X) + p"- 1 G (X)) (A + p h [a - y) {X) + p a ~ x H [X)) (mod p a )bestehen muß. Daraus folgt

fix) — g (a ~ l) {x) ( A + ph^'^ix)) = p a ~ 1 (H(x)g ia ~ 1) (x) +AG{x)) (modp°)

oder wenn man

fix) — g {a ~ l) (x) {A + ph^'^ixj) = p"~ 1 F{x)

setzt, erhält man zur Bestimmung von G(x) und H{x)

F{x) = H(x) g {a ^ 1] (x) -f- A G {x) (mod p).

Diese Kongruenz kann aber nur (mod p) in einer eindeutigen Weise be-friedigt werden, und zwar indem man F[x) durch gr (a_1) (a;) dividiert,

F(x) = q(x) g( a ~ü(x) + r{x),

wobei also

H(x) = q(x), A G (x) = r (x) (mod p)

wird. Der Satz 2 ist dadurch bewiesen.

Es sei jetzt f(x) ein reduziertes Polynom und weiter

f{x) = f (a:) f^(x) ... f r (x) (mod p a )

eine beliebige Zerlegung von fix) in Faktoren (modp"). Man kann dannnach Satz 2 immer annehmen, daß ein Faktor fix) die Form

fi( x ) = 9i ( x ) {A + V \ ix)) (mod p a )

hat, wobei g¡ix) reduziert ist und die Konstante A { soll nicht durch pteilbar sein. Das Produkt

Q{?) = 9Á x )9Á x ) 9Á X )ist dann wieder reduziert, und weiter kann man auch

(3) A + pHix) = (^ + ph^x)) ...iA r + ph r ix))setzen, wobei A nicht durch p teilbar ist. Aus der Kongruenz

fix) = G ix) i A + p H ix)) (mod p a )

schließt man aber

(4) A p Hix) = 1 (mod p a ).

Denn der Grad von G ix) ist, wie man leicht sieht, gleich dem Grade vonfix), und wenn es in p Hix) Glieder gäbe, welche nicht (mod p") ver-schwinden, würden daraus durch Multiplikation mit G ix) Glieder ent-stehen, welche nicht in fix) enthalten wären. Die Richtigkeit von (4) istalso nachgewiesen.