Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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Aus (3) folgt dann

+ (a:))... {A r + ph r [x)) = 1 (mod p a ),

und daraus leitet man sofort den Satz ab:

Satz 3. Wenn ein reduziertes Polynom (mod p") durch ein Polynomvon der Form A -f- p F(x) teilbar ist, gibt es immer ein anderes PolynomB-\-pG(x), so daß

(A 4- p F (x)) (B -f- p G (x)) == 1 (mod p a ).

Solche Polynome A + p F{ x) kann man passend Einheitsteiler (mod p a )nennen. Man erkennt leicht an Beispielen, daß solche Einheitsteiler füralle a existieren. So ist z. B.

1 + x m pP, ß^Y

ein Einheitsteiler (mod p a ), indem

(1 + x m p ß ) (1 — x m pP) =' 1 (mod p a ).

Ein Polynom <p (x) soll irreduzibel (mod p a ) heißen, wenn cp (x)reduziert ist und außer sich selbst keine reduzierte Teiler (mod p' 1 ) ent-hält. Aus dem Vorausgehenden folgt einfach, daß jedes reduzierte Polynomin irreduzible Faktoren zerlegt werden kann, ich bemerke aber sofort, daßdiese Zerlegung im allgemeinen nicht eindeutig bestimmt ist.

Von den unwesentlichen Einheitsteilern wird im folgenden bei derZerlegung eines reduzierten Polynoms immer abgesehen.

§ 3.

Über den Zusammenhang zwischen den Faktoren (modp a )íür verschiedene a.

Für die weitere Untersuchung der Zerlegungen der Polynome ist einSatz, der in anderer Gestalt bereits von Herrn Hensel 2 ) aufgestellt ist,von Wichtigkeit.

Es sei f(x) ein gegebenes, reduziertes Polynom, und weiter D = D ( f{x))die Diskriminante von f(x). Es wird D =f= 0 vorausgesetzt, d. h. f(x) sollkeine mehrfachen Faktoren enthalten; man setzt voraus, daß D genaudurch p ô teilbar ist.

Weiter wird angenommen, daß eine Zerlegung

(5) f{x) = f t (x) /- 3 (a:)(mod p ô+l )

besteht, wobei also f x (x) und f\{x) reduziert angenommen werden. Wenn'-) K. Hensel, Theorie der algebraischen Zahlen, Kap. IV, § 3. Leipzig 1908.