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dann die Resultante R(f 1 (x), ^{x)) genau durch ps teilbar ist, so folgtaus der Relation

D — D (fi( x )) D {f°A x )) R ~f»A x )) ( mod v d+l )

sofort, daß ô 2 g sein muß 3 ).

Man kann nun beweisen, daß man aus der Zerlegung (5) für allea > ô + 1 eine Zerlegung

(6) f{x)=fi a \x) ft\x) (mod p a )ableiten kann, wobei

(7) fi"\ x ) = fi (®), f¡" ) (x) = f 2 (x)(modp s -e+ 1 )ist.

Man beweist auch diesen Satz durch Induktion, indem man

(8) f(x) f= ^(x) f?~ x) (z) (mod p a_1 )als bewiesen voraussetzt, wobei also auch

(9) f^ c ~ 1) {x) = f 1 {x), / 3 < "~ 1) (x) = f 9 (x) (mod p 6 ~ e+1 )

sein soll. Da, wie schon bemerkt, ô — q ^ q ist, so wird auch die Resul-tante von (x) und f«""^ (x) genau durch ps teilbar.

Setzt man jetzt

/i (a> 0) = fi al) (®) + P a ^~ e 9i 0),ft\x) = fr i) {x) + p a -^g,(x),

so sind wegen (9) sicher die Kongruenzen (7) erfüllt. Weiter kann manaber die Zusatzfunktionen g 1 (x) und g. 2 {x) so bestimmen, daß auch dieZerlegung (6) besteht. Dazu ist nur erforderlich, daß die Kongruenz

f{x) = f/«- 1 ' (x) f¡ a ~v [x) + p a ~ 1 ~e(g 1 (x) f¡ a ~v ( x ) + g 2 (x) f¡ a ~v (z)) (mod p a )

besteht, indem man bemerkt, daß das Glied

p*°-*-*e gi (x) g^{x)

(modp") verschwindet. Nach (8) kann man aber

p"- 1 F(x) = f(x) — /j <a-1) (:r) f¡ a ~ x) {x)

setzen, so daß man zur Bestimmung von g 1 (x) und g n (z) die Kongruenz

9i( x ) f2 a ~ 1] ( x ) + ff 2 ( x ) f¡ a ~ 1] ( x ) — V a F {x) (modpe +1 )

erhält. Diese Kongruenz ist aber nach Satz 1 immer lösbar, wodurchunsere Behauptung bewiesen ist.

3 ) Es ist von Interesse zu bemerken, daß diese Relation nicht zu bestehen

braucht, wenn man niclit-reduzierte Faktoren (mod j") zuläßt.