Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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Es sei nun

(10) f(x) = f x (x) f^(x)... f r (x) (mod p^ 1 )

eine beliebige Zerlegung von f(x) in reduzierte Faktoren. Es wird voraus-gesetzt, daß die Diskriminante D (f¡(x)) eines Faktors genau durch p i¡teilbar ist, während die Resultante R.. = R (f { (x), fj(x)) genau durch pe¡jteilbar sein soll. Nach einem bekannten Satze über Diskriminanten folgtdann aus (10)

(11) <5 = ¿<5,-+ 2 2 Qij .

i= 1 i>3

Setzt man hier der Kürze wegen

(12) Q'^Uea,

i>J

so geht die Gleichung (11) in

(13) 6 = ¿t î,. + 2e'

i= 1

über.

Unter Anwendung der vorstehenden Untersuchungen folgt dann dieRichtigkeit des Satzes :

Besteht für f(x) die Zerlegung (10), so besteht auch für alle «>(5 + 1eine entsprechende Zerlegung

(14) f(x) = f¡ a) (x) f¡ a) (x) ... f¡ a) (x) (modp«),wobei allgemein

fW{x) = fi(x) (modp' 5 -e'+ 1 ) (» = 1, 2, r).

Man leitet auch mittels dieser Untersuchungen einfach als Spezialfallden Satz von Schönemann 4 ) ab:

Besteht die Zerlegung

f(x) = f % (x) f t (x)... f r (x) (mod p),

wobei die Faktoren f¿(«)(mod p) alle zueinander relativ prim sind, sobesteht für alle a eine Zerlegung

f(x) = fl a) (x) f¡ a) (x) ... f r M (x) (mödp a ),

wobei

fW(x) = f{{x) (mod p) (»j§= 1, 2, .. r).

Unter Anwendung dieser Sätze werde ich nun die Zerlegung einesPolynoms in irreduzible Faktoren (modp a ) untersuchen.

Aus dem Schönemannschen Satze schließt man sofort, daß eine irredu-zible Funktion (modp™) entweder kongruent einer Primfunktion (modp)

4 ) Th. Schönemann, a. a. 0. § 59.