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Ö. Ore.

oder kongruent einer Potenz einer Primfunktion (modp) ist. Wenn dieirreduzible Funktion (modp a ) nämlich verschiedene Primfunktionen (modp)enthielte, so würde sie auch (modj9 a ) reduzibel.

Es sei jetzt (10) eine Zerlegung von f(x) in irreduzible Funktionen,d. h. die Faktoren f { (x) sollen alle (modp' 5+1 ) irreduzibel sein. Dieirreduziblen Funktionen f. (x) müssen dann alle voneinander verschiedensein, da sonst die Diskriminante von f(x) nicht genau durch p 6 teilbarsein kann.

Aus einer irreduziblen Funktion f { (x) (mod p s+1 ) erhält man einenentsprechenden Faktor f. {a) (x) in der Zerlegung (14) von f(x) (modp K ).Man kann dann zeigen, daß auch fi a) (x) eine irreduzible Funktion (modp")ist, d. h. die Zerlegung (14) ist eine Zerlegung von f(x) in irreduzibleFaktoren (modp a ).

Man hat nämlich bewiesen, daß

f£ a) {x) = f { (x ) (mod p a- e' +1 )ist. Nach (11) und (12) ist aber

ö^ö-e',

so daß auch die Kongruenz

fM(x) = f t {x) (modp Ä ' +1 )

besteht. Daraus folgt aber, daß fí a) (x) (modp á <' +1 ) irreduzibel sein muß,und also ist (x) um so mehr (modp a ) eine irreduzible Funktion. DasPolynom f f (x) muß nämlich (modp Ä<+1 ) irreduzibel sein, da sonst f { (x)nach dem früher Bewiesenen für alle höheren Potenzen von p, also auch(modj? ä+1 ) reduzibel wäre, gegen die Voraussetzung.

Man kann diese Resultate in einem Satze zusammenfassen:

Satz 4. Zerlegt man das Polynom f(x) in irreduzible Faktoren(mod p ô+1 )

f( x ) — fÁ x )f"A x ) ■ • ■ fÁ x ) (modp á+1 ),

so besteht für alle a > (5 -(-1 eine entsprechende Zerlegung in irreduzibleFaktoren (modp a )

f(x) = ff a) (x) f¡ a) (x)... f} a) (x) (mod p a ),

ivobei

fj a) ( x )= /•(») (modp' 5 -e'+ 1 ) (i = 1, 2, ..., r).

Aus diesem Satze folgt, daß die Zahlen und q .. für die entsprechen-den Faktoren fj a] (x) dieselben wie für f { (x) sein werden, sie sind alsovon a unabhängig.

In dem nächsten Kapitel werde ich als Anwendung der Untersuchungen