Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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über algebraische Zahlen auch einen Hauptsatz über die Mehrdeutigkeits-verhältnisse bei den Zerlegungen (modp a ) geben.

Kapitel II.

Allgemeine Untersuchungen über algebraische Zahlkörper.

§1-

Zwei Hilfssätze.

Es sollen jetzt die Eigenschaften eines algebraischen Zahlkörpers Kvom Grade n untersucht werden. Der Körper K wird durch eine ganzealgebraische Zahl & definiert, wobei # der irreduziblen Gleichung

(1) f(x) = x n + a 1 x"~ 1 + ... + a n = 0, f(&) = 0genügt, worin die Koeffizienten a i ganze rationale Zahlen sind.

Alle Zahlen in K werden durch die Zahlen

(2) i^) = c 0 + c 1 tf + ... + c n _ 1 fl n - 1

erzeugt, wenn die c i alle rationalen Werte durchlaufen. Für K kann manbekanntlich auch eine Minimalbasis

(3) m 1 , co 2 , ..co nfinden, so daß jede Zahl co in K in der Form

co = b 1 ojj -)- b. 2 co., —[— ... —b n co n

dargestellt werden kann, und wenn co eine ganze Zahl des Körpers ist,so sind alle b { ganze rationale Zahlen. Die Diskriminante einer Minimal-basis heißt die Körperdiskriminante und soll mit d bezeichnet werden.

Alle Zahlen von der Form (2), wobei die Koeffizienten c { ganzrational sind, bilden einen Ring R, d. h. die Summe und DifferenzFi(&) ± und Produkt F 1 (■&) (#) von zwei Zahlen in R ist

wieder in R enthalten.

Es soll zunächst ein einfacher Hilfssatz bewiesen werden. Aus denEigenschaften der Minimalbasis (3) folgt, daß Gleichungen von der Form

1 = c u m 1 + e„ <w 3 + ... + c ln co n ,

^ 1 ^ == ^21 CD^ —{— CO.2 ¡ . . . —}" C¡ 2 n Cl) n ,

. t) n 1 = c nl C0 1 + c n3 to 2 + ... + c n „ co nbestehen müssen, wobei alle c i( ganz rational sind. Die Determinante

Je = J c¿j J ( i = 1,2,...,«, ^' = 1,2,..., n)