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heißt der Index der Zahl #. Wenn D die Diskriminante der Gleichung ( 1 )ist, so beweist man leicht aus (4), daß die Relation

(5) D = k"d

besteht; es folgt daraus, daß die ganze rationale Zahl k nicht verschwindenkann.

Aus den Gleichungen (4) folgen Relationen von der Form

(6) kco^A^ + A^ + .-. + A^r-i (» = 1 ,2,... n),wobei auch alle A¡j ganz rational sind.

Es sei jetzt der Index k genau durch p" teilbar, so daß man k = p"k'setzen kann, wo k' nicht durch p teilbar ist; der Buchstabe « soll imfolgenden immer diese feste Bedeutung haben. Wenn daher a > x eineganze rationale Zahl ist, so folgt aus (6)leicht, daß die Zahlen p" m i (moàp a )alle kongruent einer Zahl des Ringes R sind. Daraus sieht man sofortdie Richtigkeit des folgenden Satzes ein.

Satz 1. Wenn co eine beliebige ganze Körperzahl ist, so ist immerp"co (mod p a )u > y., kongruent einer Zahl des Ringes R. Dabei kann abeliebig groß gewählt werden, und pbezeichnet die genaue Potenz, worinp in k aufgeht.

Ich beweise auch an dieser Stelle einen anderen wichtigen Hilfssatz.Es soll untersucht werden, wann eine Ringzahl in R durch p " teilbar ist,also die Bedingung dafür, daß eine Kongruenz von der Form

F(fî) = 6 0 + b t & + ... + b n _ 1 #" _1 = 0 (modp a )

besteht. Man ersetzt die Potenzen durch ihre Werte (4) und erhältdadurch die Kongruenzen

K c u + C 3 1 + • • • + &„_! C „1 = 0

&0 C 1 «+ &i C -'n+ ••• + c „„ = 0

(mod p a ).

Die Determinante dieses Systems ist gleich k und man leitet daher darausdie Kongruenzen

kb¡ = 0 (modp a ) (» = 0, 1, ..., n — 1)

ab. Dann wird aber

Ô; = 0 (modp"-") (»'= 0, 1, ..., ft — 1),

und es ist also bewiesen:

Satz 2. Wenn eine Ringzahl Fiti) durch p" teilbar sein soll, müssenalle Koeffizienten b¡ durch p a ~ x teilbar sein, d. h. es besteht die identischeKongruenz

F(x) = 0 (modp a ~*).