Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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Aus diesem Satze folgt sofort, daß für zwei Ringzahlen F 1 (#) undF ¡1 (&) die Kongruenz

J?i (0) = J, (#) ( mod?;«)nur dann bestehen kann, wenn

F 1 [x) = F 2 (x) (modp" - *).

§ 2.

Beweis des Hauptsatzes.

Es soll nun die erste Hauptaufgabe behandelt werden: Man soll denZusammenhang zwischen der Form des Polynoms f(x) und der Prim-idealzerlegung einer Primzahl p untersuchen.

Es sei

(7) f(x) = f x (x) f„ («)... f^x) (mod p a )

eine Zerlegung von f(x) in irreduzible Faktoren (mod p a ), wobei a ô -f- 1vorausgesetzt wird, wenn wie früher die Gleichungsdiskriminante D von f(x)genau durch p s teilbar ist. Nach Kap. 1 kann man annehmen, daß dieFaktoren f { (x) reduziert sind; die Grade der Faktoren sollen mit

(8) n lt n,, ..., n rbezeichnet werden, wobei natürlich

(9) n 1 + » 2 +... + » r = »

ist.

Aus ( 1 ) und ( 7 ) folgt für x = & die Kongruenz

(10) fiW/iW-./fW^Otmodp»),

und daraus schließt man, daß die Zahlen mit p gewisse gemeinsame

Idealteiler besitzen müssen.

Es sei wie in Kap. 1 die Resultante von zwei irreduziblen Funktionenfi(x) und f (x) genau durch p e 'J teilbar, während die Diskriminante D ivon f { (x) genau durch p 5¡ teilbar sein soll; zwischen den Zahlen q i - und ô {besteht dann die Relation (11) Kap. 1. Nach Satz 1, Kap. 1, kann mannun solche Polynome A {j (x) und B ii (x) bestimmen, daß

(11) Afj ( x) fi ( x ) + B {j ( x ) fj ( x ) = p e 'i ( : mod p « ).

Wenn dann £ ein beliebiges Primideal ist, das in p aufgeht, so wirdvorausgesetzt, daß die Zahl /"¿(0) genau durch p''' teilbar ist; die Zahl y isoll die charakteristische Zahl des Primideals p in bezug auf f { (x) heißen.Geht das Primideal p in p genau in der Potenz p" auf, so folgt