Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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für alle Primideale durch p e<0: e,J \ also auch durch p c( " e) teilbar würde.Es muß daher die Kongruenz

fiW- • -Ü-iWfi+iW-- -frW = 0 (modp—e')bestehen. Wird aber darauf der Satz 2, Kap. 2, angewandt, so folgt dieidentische Kongruenz

= ° (modp«-«'-"),

welche aber nicht bestehen kann, indem die linke Seite nicht durch pteilbar ist. Man muß also

a ^ Q' + X

haben, was auch nicht möglich ist, indem a ^ ô + 1 und nach (13) Kap. 1

Ô Ô

folgt q '^ 2 unc ^ ebenso nach (5)

Unsere Behauptung ist also bewiesen.

Es sollen nun genauer die Eigenschaften eines Primideals £ studiertwerden, das zur irreduziblen Funktion f { (x) gehört.

Nach dem Satze 4, Kap. 1, kann man aus (7) eine entsprechendeZerl egung von f[x ) in irreduzible Faktoren für alle Moduln (modp^) ß > abestimmen,

f(x) = fi ß) (x) fi ß) (x).. . fr ß) (x) (mod <p ß ),

wobei allgemein

/f'O) = fi(x) (modp"~ e ).

Für die Faktoren fi ß \x) erhält man daher dieselben Zahlen q { . und ö iwie für die entsprechenden f { (x). Weiter werden auch die charakteristi-schen Zahlen für ein Primideal £ nicht geändert; nur wenn p zur irreduziblenFunktion f\ (x) gehört, so wird die entsprechende charakteristische Zahl y.für fi ß) (x) mit ß beliebig groß, indem man nach (15)-

Yi^ e iß - Q)hat, d. h. es besteht die Kongruenz

(16) fi ß) W= 0 (mod*)^-^).

Es soll jetzt untersucht werden, wann eine Ringzahl F(ft) durch einePotenz von £ teilbar sein kann, der Einfachheit wegen wird vorausgesetzt,daß der Exponent ein Multiplum von e ist, d. h. man soll untersuchen,wann F(&) durch p ey teilbar sein kann.

Für jedes y gibt es sicher Polynome 6? y (a;)EjE0 (modp), wofür dieKongruenz

(17) G-/W — 0 (modp e '')