328

Ö. Ore.

erfüllt ist. Denn nach (16) hat sicher f^(x) diese Eigenschaft, wennnur ß^ty-\-o' gewählt wird. Unter den Polynomen G r (x), wofür dieKongruenz (17) erfüllt ist, gibt es sicher solche, wofür der Grad möglichstklein wird und der Grad von einem solchen Polynome ist gewiß <¡71,-.Man kann auch annehmen, daß ein solches Polynom reduziert ist. Dennim entgegengesetzten Falle kann man nach Satz 2, Kap. 1, G y (x) indie Form

G y (x) = Fy(z) (A + P Hy (x)) (modpi')

schreiben, wobei F y (x) reduziert und die Zahl A nicht durch p teilbarist. Da die Zahl A-\-pHy(ë) nicht durch p teilbar ist, enthält F y (#)auch die Potenz und man kann daher G.,{x) durch das reduzierte F v (x)ersetzen.

Der Grad m y eines solchen Polynoms F y (x ) wird natürlich von y ab-hängen und mit y wachsen oder jedenfalls nicht abnehmen. Da aberm y w,- ist, so folgt, daß es ein y 0 gibt, so daß, wenn y > y 0 ist, derGrad von F r (x) von y unabhängig und also gleich m yo wird. Man kannaber dann zeigen, daß m Y ^ — n i ist. Denn dividiert man fW{x) durchFy(x), so erhält man

(18) ff)[x)= Q(x)F y (x) + R(x) (y>y 0 , ß>y + Q r ),

woraus für x = ■& folgt, daß die Zahl R (ß : ) auch durch p"? teilbar ist.Da aber der Grad von R[x) kleiner als m,. 0 ist, müssen in R{x) alleKoeffizienten durch p teilbar sein, so daß man

(19) R(x) = p'-R } (x), R 1 (x)=^ 0 (modp),

setzen kann. Die Zahl R 1 (ê) wird also durch p e <y-V teilbar, und diesist nur möglich, wenn

e(y-X)<ey 0

ist, also

¿>r — y 0 -

Wählt man nun y so groß, daß y — y 0 ô -f- 1 und also 1 > ô + 1 ist,so folgt aus (19) und (18)

f!®(x) = Q(x)Fy(x) (mod p 5+1 ).

Diese Kongruenz ist aber nicht möglich, außer wenn Q (x) = 1 (modp á+:l )ist, indem (x) (modp â+1 ) eine irreduzible Funktion ist; man hat alsom.y = my 0 — n i , wenn y > y 0 ist. Allgemeiner sieht man ein, daß immerdie Kongruenz

Fy(x) = fl ß) {x) (modp>'-''°) (ß y + q ')

besteht.