Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 329

Wenn nun eine beliebige Ringzahl F (■&) durch p c , y > y 0 teilbarsein soll, kann man F(x) durch f.W ( x ) dividieren,

(20) F(x)=Q{x)f$(x)+R{x) (ß^Y + Q')>

und für x — d- folgt daraus, daß R(J)) durch p e r teilbar ist, woraus manwie früher R[x) = 0 (mod pY-Y°) schließt, so daß nach (20) die Kongruenz

F(x) = Q (x)fl ß) (x) (moAp r ~ y °)besteht. Man kann daher sagen:

Wenn eine Ringzahl F (ft) durch teilbar sein soll, so besteht dieidentische Kongruenz

F{x) = 0 (moddp'' _, '°, f¡ P) (x)).

Daraus folgt weiter einfach, daß, wenn für zwei Ringzahlen F 1 (■&)und F„ (ß) die Kongruenz

i F„(&)(mod\)<y)bestehen soll, so hat man identisch

fi ( x ); = f 2 (x) (moddp 1 ' - '' 0 , f- ß) (x)).

Aus der letzten Bemerkung kann man eine sehr wichtige Eigenschaftdes Primideals p herleiten. Da es nämlich unter den Polynomen F (x)(modd p v ~ y °, fi (x)) genau p n ' (: '~' /o) verschiedene Reste gibt, so gibt esauch mindestens p«t(r-vo) verschiedene Ringzahlen für den Modul p c ''.

Andererseits kann man eine beliebige Körperzahl a> nach § 1 immerin der Form

F(&)

œ ~ k

schreiben, wobei F(&) eine Ringzahl und k der Index ist. Wenn dann codurch p e r teilbar sein soll, muß also F(&) durch £«<>•+") teilbar sein. Diesist aber, wie man leicht bemerkt, sicher der Fall, wenn

F(x) = 0 (modd p y+y ', fl ß> (x)) (ß > y + x +g')

ist. Da es für den Doppelmodul (moddp > ' +íí , fl ß) (x)) genau p ni ^ +,<) ver-schiedene Reste gibt, so wird es im Körper höchstens p n 'G , .+*> verschiedeneZahlen (mod£> e '') geben.

Wenn nun der Grad von p gleich f ist, so wird

A^pey) = pefrund man hat daher die Ungleichungen

pniiy-Yo) < rpefy < pni(y+x)

oder auch

n i(r — Yo)^ e fr Ú n i(r + x )y

Mathematische Annalen. 96. 22