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woraus folgt, wenn man durch y dividiert

n > (l — ^f) = e ^ = n i (l + y-) •

Da man hier y beliebig groß machen kann, so wird daraus folgen,daß n • beliebig nahe an ef kommt, und da es sich um ganze rationaleZahlen handelt, erhält man folglich die wichtige Gleichung

(21) ef=n i .

Unter Anwendung der Gleichung (21) kann man nun die wichtigeTatsache beweisen, daß es für jede irreduzible Funktion f { (x) nur eineinziges zugehöriges Primideal gibt. Denn wie schon bewiesen, gibt esjedenfalls zu jedem f { {x) ein entsprechendes p it und wenn Ordnung undGrad von mit e { und bezeichnet werden, so ist nach (21) e i f i — n i .Wenn man dann das Ideal

p' = t>í'í>!' ... P r erbildet, so ist sicher p' ein Teiler von p. Da aber

r r

2e t f, En,

N p' = p l ~ l = p 1 - 1 — p n

ist, so muß man auch p' = p haben, d. h. es kann für jedes f^x) nurdas einzige p. geben. Es ist daher der folgende Hauptsatz bewiesen:

Satz 3. Besteht für f(x) die Zerlegung in irreduzible Faktoren(mod p a ), a ^ <5 -f 1 >

f{x) = f y (»)/;(«)... f r {x) (mod|?),

wobei der Grad von f¡ (x) gleich n i ist, so hat die Primzahl p in R diePrimidealzerlegung

p = p* p^... p r e r,

ivobei

N (Pf) = P ni -

§3.

Anwendungen des Hauptsatzes.

Es werden im folgenden die Bezeichnungen angewandt: Die Prim-zahl p soll die Primidealzerlegung

(22) p = pp ... p r e r, Np { = pf'

haben. Wenn dann

f(x) = f x {x) f 2 (x)... f r (x) (mod p a ) («><5 + 1)