Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 331

eine Zerlegung von f(x) in irreduzible Faktoren (mod p") ist, so hatman also

(23) e ¡ fi = n i,

wenn n¡ der Grad von f¡(x) ist. Wenn weiter die Zahl /'.(/>) genau durchpi'j teilbar ist, so heißt die charakteristische Zahl von 1)(x) in bezugauf p ; . Es bestehen dann nach § 2 die Ungleichungen

(* + *)»

während die Zahl nach (15) sicher durch teilbar ist.

Man kann nun genauer angeben, wann eine Ringzahl F(ß),i^(x)^ü (modp) durch eine Potenz teilbar ist. Nimmt man näm-lich zuerst an, daß der Grad von F(x ) kleiner als n i ist, so bildet mandie Zahl

/f > (#)... /&(#) F(fi) f& (#)... ff (0) (ß>y + Q ').

Diese Zahl ist sicher durch \>t n teilbar, während jedes von p ( . verschie-dene Primideal ^ sicher in der Potenz pp r vorkommt. Man hat daher

ff (#)... A-a W F(fi) f¡í\ (#)... ff (ft) = 0 (mod pr)woraus nach Satz 2

/i (/?) («)••• A-1 0*0 ^(«) A+'i 0*0 •• • ff 0*0 = 0 (mod p r—)

folgt. Diese letzte Kongruenz ist aber nur möglich, wenn man

F(x) = 0 (mod py~")

hat. Im allgemeinen Falle, wo der Grad von F(x) größer als n- ist, folgtdann leicht wie früher aus der Kongruenz

F (ft) ^ 0 (mod pi' y )

die identische Kongruenz

F(x) = 0 (modd p y ~", ff(x)) (ß y + £>').

Satz 4. Wenn eine Ringzahl F (ft) durch p¡ ir teilbar sein soll, mußdas Polynom F(x) (mod p r ~") durch ff (x), ß y + q', teilbar sein.

Man kann auch eine wichtige Anwendung von diesem Satze auf dieTheorie der höheren Kongruenzen für Primzahlpotenzmoduln geben.Es seien

(24) f(x) = ff (x) ff (x)... ff (x) (modp") («^¿ + 1),

= vfix) <pf(#)• ■ ■

zwei Zerlegungen von dem Polynome f(x) in irreduzible Faktoren (modp a ).Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung von p in Primideale folgt dann

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