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0. Ore.

zunächst, daß r — s sein muß. Weiter wird ein Primideal zu denbeiden irreduziblen Faktoren cp¡ a) (x) und f¡ a) (x) derart gehören, daß

/f'(tf) == 0 (mod p¿ i(a ~ e) ),

<p¡ a) (ft) = 0 (mod $i l(a ~ e ')

ist, wobei q " für die zweite Zerlegung (24) dieselbe Bedeutung wie q 'für die erste hat. Nach (23) folgt, daß sowohl f¡ a) (x) als cp\"\x) vomGrade n i ist. Man kann nun, was unwesentlich ist, o" q' voraussetzen.

Dann folgt nach Satz 4, daß <pi a) ( x ) (niodp" - ' 1 d urc h f¡ a \x) teilbar

Ô Ô

sein muß. Da aber x ^ -g-, q" ist, so folgt daraus einfach

fi a) (x) = <pi a) (x) (mod p a ~ s ).

Es ist daher bewiesen:

Satz 5. Zerlegt man ein irreduzibles Polynom f(x) in irreduzibleFaktoren (mod p a ), so ist diese Zerlegung (moàp a ~ s ) eindeutig, d. h. wennzivei Zerlegungen

m^n a) (x)ft ) {x)...fi a) (x)

(mod» a )

= <pi" (x)cpi" (x). ..<p¡. a (x)

bestehen, so ist r = s und für alle i = 1, 2,..., r

(fi l) (x) = fi a) (x) (mod p a ~ s ).

Dieser Satz kann natürlich auch direkt, ohne Anwendung der Theorieder algebraischen Zahlen bewiesen werden.

Kapitel III.

Über die Eigenschaften von Diskriminanten und Differenten.

§1.

Über Führer.

Wie schon in Kap. II § 1 bemerkt, bilden die Zahlen

(1) i2(#) = a 0 Oj#+ ..■. +a n _ i \

wobei die a i ganz rational sind, einen Ring, d. h. die Summe, Differenzund Produkt von zwei solchen Zahlen hat wieder dieselbe Form. Im all-gemeinen werden nicht alle ganze Körperzahlen zum Ringe gehören;wenn aber k den Index der Zahl ß bezeichnet, so folgt aus Kap. II § 1leicht, daß wenn co eine ganze Körperzahl ist, so wird

(2) kco = A (ft)eine Ringzahl.