Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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Alle Zahlen cp des Körpers, welche die Eigenschaft haben, daß fürjedes co das Produkt

(3) (o<p = A{&)

eine Ringzahl wird, bilden, wie man leicht sieht, ein Ideal f, das nachDedekind der Führer des Ringes heißt. Aus (2) folgt sofort, daß f einTeiler von k sein muß. Setzt man in (3) co = 1, so folgt, daß alleZahlen in f auch dem Ringe angehören.

Die Zahl /■'(#) heißt die Différente der Zahl und es ist dann

(4) D=±N(f'(#)),

wobei D die Gleichungsdiskriminante von der Gleichung f(x) — 0 ist.Man beweist dann weiter leicht, daß eine Relation

(5) fW = f-b

besteht, wo das Ideal b von der speziellen Wahl der Zahl § unabhängigist. Das Ideal b heißt die Différente des Körpers und hat die wichtigeEigenschaft, daß

(6) N(b) = \d\,

wobei d die Körperdiskriminante ist.

Man kann nun weitere Führerbegriffe einführen, indem man die Be-dingung (3) durch entsprechende Kongruenzen ersetzt. So bilden alleganzen Zahlen cp ¿ a) mit der Eigenschaft, daß für alle co die Kongruenz

m cpy a) = A (#) ( mod p a )

besteht, ein Ideal f'p\ das sicher ein Teiler von f wird.

Das Ideal f¿ n) wird natürlich von cc abhängig, aber man kann zeigen,daß wenn nur a oberhalb einer bestimmten Grenze liegt, so wird f¿ K>von « unabhängig, und zwar hat man

(7) f P = r = U a) («>*),

wenn wie früher der Index k genau durch p" teilbar ist. Dies folgt ein-fach aus der Tatsache, daß wenn eine Kongruenz

(8) co = P* (■&) (mod p")

gilt, so kann man auch ein Polynom P a (x ) so bestimmen, daß

co e= P a (&) (modp a ) (cc > x)

wird. Aus (8) folgt nämlich sofort

co = P K (#) + p x co x ,

wobei m 1 wieder eine ganze Zahl ist, und daher ist nach Satz 1 Kap. IIauch p"co 1 (mod p") kongruent einer Ringzahl.