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Ö. Ore.

Das von cc unabhängige Ideal f in (7) soll der Führer des Ringesin bezug auf p heißen, und wenn co eine Körperzahl ist, und cp eine Zahlin fp, so besteht immer eine Kongruenz

cocp = P (•#) (rnodp"),

wobei a beliebig groß gewählt werden kann.

Da nach Satz 1 Kap. II immer p" co (modp a ) kongruent einer Ring-zahl ist, so wird immer ein Teiler von p" und kann daher nur solchePrimideale enthalten, welche in p aufgehen. Wenn p nicht in k aufgeht,ist p* = 1 und man erhält daher auch f = 1. Die Ideale f p werden alsonur dann vom Einheitsideale verschieden, wenn p ein Teiler von k ist.Man beweist nun:

Satz 1. Der Führer f ist gleich dem Produkte aller Führer f j)5wobei p die Primzahlteiler von k durchläuft, also

\=n\ r

*/p

Zunächst folgt aus einer Gleichung (3), daß auch die entsprechendenKongruenzen für alle Moduln bestehen, so daß eine Zahl cp in f auch zuallen Idealen gehört, und also, da die zueinander teilerfremd sind,auch zu ihrem Produkt, f muß daher durch das Produkt ]Jf ;i teilbar sein.

Wenn aber umgekehrt cp eine Zahl des Ideals J[ f ist, so bestehtauch immer eine Kongruenz

œcp = P p ($) (mod p a ),

oder

(9) co<p = P p (&) + p a co p .

Für eine andere Primzahl q folgt entsprechend, daß co cp und daher auchnach (9) p a co ¡t (mod qß) eine Zahl des Ringes wird. Dann wird alsoauch co (mod qß) eine Zahl des Ringes und man erhält aus (9) eineGleichung von der Form

m y = + p" q ß

Ebenso zeigt man allgemein, daß wenn p,q,...,r die verschiedenenPrimzahlteiler von k sind, so besteht eine Gleichung

m cp = P p ,„ r (&) + p a qß .. .r? coj, ¡q r .

Da hier das letzte Glied durch k teilbar wird, so muß co cp auch selbsteine Zahl des Ringes sein und daher zu f gehören.

Zuletzt erwähne ich noch einen weiteren Führerbegriff. Wenn p einPrimideal ist, das in p genau in der Potenz p" aufgeht, so kann man= setzen, wo q nicht durch teilbar ist. Die Zahlen cp, wofürimmer eine Kongruenz

wcp = P (#) (modp")