Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 335

besteht, bilden ein Ideal j^ a . Man zeigt auch hier leicht, daß wenn u>exist, fp = jy*' von a unabhängig wird. Dies folgt, indem man beweist, daßman aus einer Kongruenz

(10) m = P e ,.X&) (mod p e ")

eine Kongruenz

co = P a (#) (modp a )

ableiten kann. Man kann nämlich immer eine solche Zahl y> bestimmen,daß die Kongruenzen

y = 1 (modp"), tp = 0 (modq")

erfüllt sind, und wenn man dann (10) mit ip multipliziert, erhält maneine Kongruenz von der Form

co =P ex (ê)-{-p x m (modp«),

woraus nach Satz 1, Kap. II folgt, daß co (mod £>") kongruent einer Ring-zahl ist.

Das Ideal heißt der Führer des Ringes in bezug auf p, undwenn cp e ine Zahl in f p ist, so besteht für alle ganze Körperzahlen meine Kongruenz

cocp = P (#) (mod p a ),

wo « beliebig groß gewählt werden kann. Wie oben zeigt man leicht,daß jede durch p e " teilbare Zahl ( mod p") zum Ringe gehört, so daß jpein Teiler von p e " und folglich auch eine Potenz von p sein muß.

Ich werde jetzt den Zusammenhang zwischen den Führern unddem entsprechenden Primzahlführer f ermitteln. Es sei die Primideal-zerlegung von p durch (22), Kap. II gegeben, und da f P( . eine Potenzvon ist, kann man

(11) f Pt = P i "

setzen.

Es werden nun die allgemeinen Bezeichnungen des Kapitels II an-gewandt, und die charakteristischen Zahlen des Primideals sind daher

7u> •••> 7 ir - Man setzt

(12) 7i = 7n + • • • + 7i,i- 1 + 7ÏU+1 +> • • +• 7i, Vund nach der Definition der Zahlen y, . ist dann die Zahl

n iW=flW ■■■ fi-lWfi + lW ■■■ frW

genau durch teilbar.

Da alle durch \)Ji teilbaren Körperzahlen kongruent einer Ringzahl