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Ö. Ore.

(mod p..") sind, so wird es auch im Ringe e i f i = n i durch p. r <' teilbareZahlen

so geben, daß sie ein Fundamentalsystem für (modp.") bilden 5 ), d.h.jede durch teilbare Zahl co läßt sich (mod^" 1 ) kongruent einer Summe

co e- a® (ê) + a® R® (fi) + ... + (mod ft 0 )

schreiben, wobei die Zahlen aj l> alle ganz rational sind.

Bildet man dann weiter das System von n Zahlen

= (¿=1 ,2,. i = 1, 2, r),

so sind diese Zahlen, wie man leicht sieht, ein Fundamentalsystem inbezug auf p für ein Ideal

a ;

= ïiï T 7 '

Í= 1

d. h. jede durch a teilbare Zahl kann in der Form

m = a®K it j {■&) (mod p")

iyj

dargestellt werden, wobei alle af ganz rational sind. Da alle ZahlenK i j('&) zum Ringe gehören, so folgt, daß f ein Teiler von a sein muß.

Man kann aber zeigen, daß a = f ist, indem man beweist, daß keinPrimideal in f in einer kleineren Potenz als i> y . ,+T ' vorko mm t Es soll

~ i

nun bewiesen werden, daß nicht alle Zahlen im Ideale (modp«) zum

Ringe gehören. Man kann nämlich eine solche Ringzahl F(&) finden, daßsie genau durch teilbar ist, und weiter kann man auch voraus-

setzen, daß der Grad von F(x) kleiner als n i ist. Weiter kann man auchF(x) so wählen, daß F(x) ^ 0 (modp) wird, indem sonst, wie manleicht sieht, jede durch ■pi'" -1 teilbare Zahl kongruent einer Ringzahl (mod ^')wurde. Wenn man dann die Zahl

m

bildet, so ist, wie man leicht sieht, co eine ganze Zahl, welche zum

Ideale — gehört. Es kann aber keine KongruenzVi

CO = n t (#) = F 1 (0) (mod p«)

bestehen, indem sonst nach Kap. II, Satz 2 die identische Kongruenzn i (x)F(x) = pF,(x) (mod p a ~ x )

5 ) Man sehe meine Arbeit: Ö. Ore, Bestimmung der Différente eines algebraischen

Zahlkörpers, §1, Acta Math. 46 (1925), S. 365-392.

La. -