Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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bestehen würde, was nach den Voraussetzungen über F(x) nicht möglichist. Es folgt daher

Satz 2. Der Führer f des Ringes ist durch die Formel

f ,-íyr'

1=1

bestimmt.

Es sei wie früher e i und f. die Ordnung bzw. Gradzahl eines Prim-ideals pj. Wenn dann <p(x) (modp) eine beliebige Primfunktion /¿-tenGrades ist, so zeigt man leicht "), daß man in K eine solche ganze Zahl o>finden kann, daß cp(co) genau durch die erste Potenz von teilbar ist,während keine anderen Primidealteiler von p in <p(co) aufgehen. Es sollnun die Gleichung F(x) = 0 untersucht werden, welcher die Zahl o>genügt. Es folgt sofort, daß man

F(x) = n (x) (p(x) e (mod p)

haben muß, wobei 7i(a;)(mod p) nicht durch cp (x) teilbar ist. Darausfolgt aber weiter aus dem Satze von Schönemann (Kap. I, § 3), daßfür alle a auch eine Zerlegung

F(x) = n(x) 0 (x) (mod p a )

bestehen muß, wobei

n (x) = jt(x), 0 (x) = cp (x) e (mod p)

ist. Das Primideal entspricht also im Sinne des Hauptsatzes demFaktor <P(x), der (modp") für u > % irreduzibel werden muß. Aus

n,- — e ; fi = ef-

I I I l 1 1

folgt dann sofort e = e i , und man kann daher

&(x) = <p(x) eiJ r pMix)

setzen. Nach dem Hauptsatze wird auch die Zahl í>(tu) durch beliebighohe, nur von u abhängige Potenzen von teilbar, und daraus folgtleicht, daß die Zahl M(co) nicht durch \) i teilbar ist, d. h. M{x) ist(mod p) nicht durch <p (x) teilbar. Man kann dies folgendermaßen aus-drücken :

Satz 3. Es sei m eine ganze Körperzahl, welche der GleichungFix) = 0 genügt. Man kann dann m so bestimmen, daß für ein be-stimmtes Primideal der entsprechende irreduzible Faktor F { (x) vonF(x) (mod p a ) die Form

F i{ x ) = <p{x~) e ' + pM(x)

6 ) Man sehe z. B. D. Hilbert, Zahlenbericht § 9. Jahresber. d. Deutschen Mathe-matikervereinigung 4 (1894).