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Ö. Ore.

erhält, wobei <p(x) ( mod p) eine Primfunktion ten Grades ist, M (x)(modp) nicht durch cp (x) teilbar ist, und weiter die übrigen irreduziblenFaktoren F-{x) (j =(= i) von F(x) nicht (mod p) durch cp (x) teilbar sind.

An einer späteren Stelle werde ich zeigen, wie man im vorgelegtenFalle wirklich eine solche Zahl w finden kann. Aus den Eigenschaftenvon co folgt sofort, daß man das Primideal ^ immer in der Normalform

Pi = (P> <PÍ™))

darstellen kann.

Man sieht nun leicht ein, da cp(co ) nur die erste Potenz von ent-hält, daß die Zahlen

w r (p(a>y (r = 0,1, f t — l; s = 0,l,..., ßj—1)

ein Fundamentalsystem für die Potenzen von ^ bilden, d. h. jede Körper-zahl ist (modp?) kongruent einem linearen Ausdrucke mit ganzen ratio-nalen Koeffizienten von diesen Zahlen. Daher ist jede Körperzahl (modp?)kongruent einer Ringzahl, d. h. der Partialfiihrer des Ringes R(oj) in bezugauf p t . ist gleich dem Einheitsideal.

Aus Satz 3 folgt weiter, daß alle charakteristischen Zahlen in bezugauf verschwinden, es ist also

7il = • • • = g; <-i = Vi, i + l = • • • = Yi,r = 0 .

woraus nach (12) y t = 0 folgt. Aus den Sätzen 2 und 3 schließt mandann weiter, daß der Führer f von R ( oj) nicht durch p i teilbar ist, worausnach (5) sofort der bekannte Satz folgt:

Die Körperdif fer ente ist der größte gemeinsame Faktor von den Dif-ferenten der Zahlen des Körpers.

Man kann auch in jedem Körper eine solche Zahl 0 bestimmen, daßalle Partialführer Einheitsideale werden. Denn es ist zunächst möglich,O so zu bestimmen 7 ), daß für alle i die Zahl (p¿{&) genau durch dieerste Potenz von ^ teilbar wird, wobei allgemein (p^x) (modp) einePrimfunktion vom Grade ist. Diese Primfunktion kann übrigens beliebiggewählt werden, wenn sie nur vom Grade ist. Der entsprechende

') Unter Anwendung der Methode, die ich in meiner Arbeit: Weitere Unter-suchungen zur Theorie der algebraischen Körper, Acta Math. 45 (1924), S. 145 —160benutzt habe, zeigt man leicht die Richtigkeit des folgenden Hilfssatzes, den ich auchspäter anwenden werde:

Man kann immer eine solche Zahl a> des Körpers bestimmen, daß eine Zahl <p i (co)genau durch p! 1 ' teilbar wird. Dabei bedeutet <p i (x) eine Primfunktion (mod p)f { - ten Grades, und die q> i (x) können, wenn mehrere Primideale von demselben Grade f iexistieren, beliebig, gleich oder verschieden unter den Primfunktionen /"¿-ten Gradesgewählt werden. Die Zahlen li¡ können beliebig gewählt werden.