Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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Faktor f¡(x) von f(x) muß dann (modp) durch ^(x) teilbar sein, undaus dem Hauptsatze folgt leicht

fi( x )= <PÁ X Y' ( mod P)>

also

Genau wie früher folgt hier, daß M { (x) (modp) nicht durch <p t (x) teilbarsein kann. Da nun <£>¿(0) genau die erste Potenz von p ¿ enthält, sobilden die Zahlen

® r <Pi (ßY (r = 0,1, — 1; s = 0,1,.. e ¿ — 1)ein Fundamentalsystem für die Potenzen von d. h. jede Körperzahlist (modp t ?) kongruent einer Ringzahl i?(0), und folglich ist ^ = 1.Im Falle e ; = 1 braucht man aber nicht vorauszusetzen, daß <p i (0 ) genaudie erste Potenz von ^ enthält, um f P( =1 zu machen ; denn in diesemFalle enthält p genau die erste Potenz von p f , so daß schon die Zahlen0 r (r = 0, ..., f t — 1) ein Fundamentalsystem bilden. Wenn daher e i — 1ist, braucht also die Bedingung M(x) ^ 0 (moddp, <Pi(x)) nicht zu gelten.

S a tz 4. Man kann immer eine solche Zahl 0 bestimmen, daß fp = 1f ür alle Partialführer des Ringes R (0) tuird. Die Gleichung f(x) = 0der Zahl 0 hat dann die Form

f( x ) = fl{<?¿ x ) ei + V M ¿ x )) (modp"),

i=l

wobei <p { (x) eine Primfunktion vom Grade /■ ist, während M { (x) (mod p)nicht durch <p { (x) teilbar ist, wenn e { > 1 ist.

Dieser Satz gibt eine Normalform für die definierende Gleichung desKörpers; später soll noch eine andere Normalform angegeben werden.

Es folgt aus diesen Bemerkungen sofort ein Beweis des Dedekind-schen Kriteriums für die sogenannten gemeinsamen außerwesentlichen Dis-kriminantenteiler. Es gibt bekanntlich Körper, wobei die Indizes k derZahlen des Körpers alle einen gemeinsamen Teiler haben. Nun folgt leichtaus den Gleichungen (4), (5) und (6), daß(13) N\ = k 2

ist, und wenn daher k nicht durch die Primzahl p teilbar sein soll, mußzuerst fp. = 1 für alle Partialführer, d. h. f(x) muß die Form des Satzes 4haben. Nach Satz 2 müssen auch alle charakteristischen Zahlen der Prim-ideale verschwinden, d.h. die Primfunktionen (p i (x) müssen alle (mod p)verschieden sein. Daher folgt:

Die Primzahl p ist dann und nur dann ein gemeinsamer außer-wesentlicher Diskriminantenteiler, ivenn von den Ungleichungen

r f > gif) (f=l,2,...,n)