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wenigstens eine erfüllt ist. Dabei bedeutet r, die Anzahl der Primideal-teiler von p vom Grade f, während g(f) die Anzahl der verschiedenenPrimfunktionen (mod p) vom Grade f angibt. Für die Zahl g (/) hat manbekanntlich eine einfache Formel. Später werde ich noch einen Satz übergemeinsame außerwesentliche Diskriminantenteiler geben.

Es folgt auch weiter, daß eine Primzahl p nur dann kein Teiler desIndex ist, wenn f(x) die Form

f(x) = cp 1 ( x) e 1 ... cp r (x) er + p M(x)

hat, wobei ,M(a;) (mod p) nicht durch <p i (x ) teilbar ist, wenn e ir >l.Dann hat p die Primidealzerlegung

P = PÍ 1 pt ■ ■ ■ pT r , N = p {! ,

wobei

*>¿ = (P'ViW)

ist. Dies sind die Hauptresultate der Dedekindschen Arbeit: „Über denZusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der höheren Kon-gruenzen" s ).

An einer späteren Stelle zeige ich, wie man immer die Primidealzer-legung von p bei gegebener Gleichung bestimmen kann.

§ 2.

Über die Abbildungskörper der Primideale.

Wenn man den Körper nicht durch die Zahl ß, sondern durch eineandere primitive Zahl mit der Gleichung F(x) = 0 definiert, so be-stehen wegen der Eindeutigkeit der Primidealzerlegung nach dem Haupt-satz gleichzeitig die beiden Zerlegungen

/"(*)=- fl («>... fri*) , AF(x)^F 1 (x)...F,(x) { V) '

wobei fiix) und F^x) (mod p a ) irreduzible Funktionen vom selben Grade n¿sind. Weiter besteht zwischen f¡(x) und F i {x) der Zusammenhang, daß

/J(0f^ 0(mod^ (o "' ,} )

Fi(&i) = 0 (mod ^i' <a_e " ) )

Ô Ô

ist, wobei q ' unc ^ entsprechend q " wenn die Diskriminante von

F(x) genau durch p s i teilbar ist.

Es soll nun untersucht werden, wie sich ein Faktor F i {x) aus dem

s ) Abhandlungen der Kg], Gesellschaft d. Wissenschaften zu Göttingen 1878.