Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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entsprechenden f { (x) ableitet. Nach § 1, Kap. II kann man immer /> 1 inder Form

k i\ = a 0 + ê + ... + a n - x & n ~ 1

annehmen, wobei alle a { ganz rational sind. Da man weiter nur t) 1 fürModuln untersuchen soll, welche Potenzen von sind, so besteht auchsicher eine Kongruenz von der Form

«a \ + b, & + ... + b n¡ ê"'- 1 (mod .

Multipliziert man diese Kongruenz nacheinander mit 1 $ n ' -1 und

reduziert alle Potenzen von d größer als nach der Relation

/";•($) = #"'+ c i 1 -f- c m = 0 (modpj' 1 ' e> ),

so erhält man das folgende System von Kongruenzen

p" = a} 1 ' + ai 1 ' # + 4- a„t

• <2> I I I ^(2) „Q«.—1

p K 0, # = a[ + ar #+...+ a%

= a? i] ^ a?» $

(»i)

Am)

+ «C 0

(»;) nu,- 1

( mod p, e/

e; («-£>')

Durch Elimination von # erhält man dadurch die Kongruenz

A(^)

(1) * Q

«i — P

az\

... a

(i)

ai

(2)

ß 3

(2)

(2)

* ci (2

V a ni

<»()«1 j

(«/)ßo ,

• • O»"' 1 — p'tit

: 0 (modp'

e/ (a-e') \

Aus dieser Kongruenz folgt dann nach Satz 4, Kap. II, daß die Determi-nante A (x) (mod p a -e'-e"-"i') durch F i (x ) teilbar sein muß, und da

Ô Ô Ô

q ' ^ -g" ' f?" = "^ > "i = "^ ist, so folgt leicht die Kongruenz

pmx F.[x) = A(x) [modp a ~ s ~ ä ').

Es folgt auch natürlich, daß im Polynom A (x) alle Koeffizienten durchp niX teilbar sein müssen; setzt man daher p"'"Aj^(x) — A (x), so kommt

F i (x) = A i (x)(mod p a ~ t ),

wobei der Kürze wegen t = ô + -f- n¡ x gesetzt worden ist.

Als Hilfsmittel bei den folgenden Untersuchungen führe ich nun einene ue algebraische Zahl ê u) ein, welche im allgemeinen nicht zum Körper Kgehören wird. Man wählt « fest und oberhalb einer Grenze, welche späterangegeben wird; die Zahl {)''' ist dann eine Wurzel der irreduziblen Gleichung

f l (# W ) = 0,

und der aus # (!) gebildete Körper K u) vom Grade n { heißt der Abbildungs-körper des Primideals p ; .