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Ich führe weiter zwischen den Körpern K und K (l) eine Korrespon-denz ein, indem man zu jeder Zahl

# x = Jl(â)

in K die Zahl

â® = R (tf (i) )

in K m zuordnet.

Bildet man nun die Gleichung &(x) = 0, welcher die Zahl &¡" ge-nügt, so folgt leicht nach derselben Methode, daß manA 1 (&i') — 0 hat,woraus natürlich A 1 (x) — 0 (x) folgt. A 1 (x) war nämlich (mod p"-')kongruent einer irreduziblen Funktion F { (x) und kann daher nicht &(x)als Teiler enthalten. Es folgt daher, daß, wenn die Zahl $1'' der Gleichung<ß(x) = 0 genügt, so ist

(14) <5 (x) = i* 1 ¿ (x)(modp a_í ),

wobei F { (x) der Faktor des Primideals in der Gleichung F(x) = 0 derZahl & 1 ist.

Wählt man nun speziell für eine Zahl co, wofür der entsprechendePartialführer f Vi gleich dem Einheitsideale ist, so wird F i ( x) nach Satz 3die Form

F { (x) = <p (x) ei + p M (x)

haben, wobei M(x) (mod p) nicht durch cp(x) teilbar ist. Wenn daher in

(14) a t + 2 gewählt wird, so wird die zugeordnete Zahl co w der Gleichung(p(x) — 0 genügen, wobei auch

<Z> (x) = <p(x) ei + p M(x)(modp a ~ t )

ist. Daraus folgt sofort, daß die Primzahl p in K {1) die Primidealzerlegung

p = },»*, N {i) {p®) = p f '

hat, wobei das Zeichen N l,) Normen in K {l) angibt. Die Zahl cp{co (l) ) istweiter genau durch die erste Potenz von p (i) teilbar, wenn e { > 1 ist, sodaß die Zahlen

««Xa)»)' (r =o, i,..:,fi-i-, s =o, 1 — i)

oder auch

co (i)r (r = 0,1, ..., n¡ — 1)

ein Fundamentalsystem für die Potenzen von bilden, d. h. es bestehtfür jede Zahl 0 (i) in K (l) eine Kongruenz

(15) 0« = iü(o)«)(mod^f e ' (a_Ö ),wobei das Polynom R(x) vom Grade kleiner als ist.