Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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Ebenso folgt leicht, daß die Zahlen

co r (r = 0, 1, 1)

in K ein Fundamentalsystem für die Potenzen von bilden und daßdann aus (15) die entsprechende Kongruenz

0 = R (co) (mod £«<'<«-")

in K folgt. Ich untersuche nun, wann eine Zahl 0 in K genau durchei ne Po tenz p" teilbar ist. Man kann a = e { q -\- r schreiben, wobei O^r < e¡ist, und es folgt leicht, daß R(x) die Form

R (¡r) =s p q cp (x) r Q (¡c)(modp í + 1 )

haben muß, wobei Q(a;)(modp) nicht durch cp (x) teilbar ist. Umge-kehrt ist natürlich auch 0 genau durch p" teilbar, wenn R(x) diese Formhat. Mehr allgemein sieht man ein, daß; wenn eine Kongruenz

■& 1 = $ 3 (mod pi)

bestehen soll, wobei

= R 1 (co), = Ä 2 (<u) (mod £<"(«-'>),

so muß man

R t (x) — R. 2 (x) = p"<p(x) r Q (a:)(mod p q+1 )

haben. Genau das Entsprechende gilt aber für die Zahlen in if (l> in bezugauf ihre Teilbarkeit durch pf' 1 , und man kann daher sagen:

Wenn eine Zahl 0 genau durch p, a , a < e¡(a — t), teilbar ist, so wirdauch die entsprechende zugeordnete Zahl 0 {l} genau durch p ( " teilbar seinund umgekehrt.

Wenn in K eine Kongruenz

= # a (mod:p") a<e i (a — t)

besteht, so besteht auch zwischen den zugeordneten Zahlen die entsprechendeKongruenz

= ^(mod p (<)a )

und umgekehrt.

Aus diesen Tatsachen über den Abbildungskörper kann man verschie-dene andere Resultate ableiten.

Zunächst ist in K {,) der Führer der Zahl co ( ' ] nicht durch p {,) teil-bar und nach (5) folgt, daß die Différente <5 (,) von K {l) genau dieselbePotenz von p (i) enthält, wie die Zahl Í>'( g ¿> (,) ). Weiter ist in K derFührer der Zahl co nicht durch p i teilbar und man zeigt dann leichtnach Satz 3, daß die Différente ô von K genau dieselbe Potenz vonwie die Zahl F¡ ( œ ) enthält. Nach (14) folgt dann sofort, wenn man nura — t hinreichend groß wählt: