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Ü. Ore.

Wenn die Différente des Abbildungskörpers K [ " genau durch p (0 1teilbar ist, so wird die Différente von K genau durch pf' teilbar.

Wenn dann weiter die Körperdiskriminante von K { " genau durchp d > teilbar ist, so folgt nach (6), daß

ist, und man sieht daher ein:

Die Körperdiskriminante von K ist genau durch

r

Id,

pi-1

teilbar.

Da die Diskriminante von # (t) , also die Diskriminante von f i (x) nachden früheren Bezeichnungen durch p ,í¡ teilbar war, so kann man nach (5),Kap. 2

<5. = 2 x i + d i

setzen, wenn der Index von in K il] genau durch p"' teilbar ist. Esfolgt nun leicht aus der Definition des Führers, daß, wenn der Partial-führer von ■& in K gleich ist, so wird der Führer f (i) von ß 111

in K [l) gleich p (l) Aus (13) folgt dann auch die Relation

(16) 2x.= r i f i .

Man kann nun auch eine einfache Relation zwischen den charakte-ristischen Zahlen y.. und den Zahlen p.. ableiten. Die Zahl y,. war da-

/ IJ I IJ

durch definiert, daß die Zahl /j($) genau durch p¡'j teilbar war; dannfolgt aber auch, daß die Zahl f. ($ (i) ) im Abbildungskörper genau durchpW'V teilbar wird. Die Zahl q .. war dagegen so definiert, daß die Resul-tante Rij— R(f i {x), fj(x)) genau durch \> e 'J teilbar sein sollte. Da aberbekanntlich

R ij = N {i) (f j (& & ))

ist, so muß die Resultante genau durch p f ' y 'J teilbar sein. Man hat also= f. y.. und ebenso beweist man auch o¡- = f.y J - i . Es ist daher be-wiesen :

Satz 5. Zwischen den charakteristischen Zahlen y ij und den Ord-nungszahlen Q i j der Resultanten R (f. (x), fj(x)) bestehen die Relationen

(1 7 ) 6{j — fi Vij — fj Yji-

Ich beweise zuletzt einen wichtigen Satz über den Index. Nach (13)folgt nämlich, wenn man für den Führer f den Ausdruck des Satzes 2einsetzt, daß k" genau durch

pZy¡fi+ l'rtfi