Definierende Gleichungen und Idealtheorie. 345

teilbar sein muß. Man hat daher nach (12) die Relation

2* = UfiYii+SfSi,

oder nach (16) und (17)

- ' 1J

i—1 j=l i= 1

2* = ^ 2 q + 2 2Jx { ,

i=l )= 1 ¿=1

woraus sofort folgt:

Satz 6. Der Index der Zahl & ist genau durch p" teilbar, wobei

* = y Qij+

i>j 1= 1

Hier bedeutet Q i;j die Ordnungszahl der Resultante R (f¡(x), fj(x)), wäh-rend x i die Ordnungszahl des Index des Abbildungkörpers von ist.Führt man hier die in Kap. 1 angewandte Zahl q ' ein, so ist also

■■ = e' + 2*o

woraus sofort y.¿tQ r kommt.

i= 1

§ 3.

Bestimmung der Körperdifferente und Körperdiskriminantc.

Es sei co eine Zahl, wofür der entsprechende Führer nicht durchteilbar ist. Nach Satz 3 hat dann die entsprechende Gleichung die Form

(18) F(x) =b Q(x)F { (x) (mod p a ),wobei

Fi(x) = <p (x) e < + p M(x)

und Q(x)(mod2J) nicht durch cp(x) teilbar ist. Nach (5) wird dann dieZahl F'(co) dieselbe Potenz von enthalten wie die KörperdifEerente.Man hat nun nach (18)

F'(co)^Q(œ)F i '(co) + Q'(œ)F i (co)(moàp"),

und da hier das letzte Glied durch teilbar ist, so folgt

F\œ)^Q(œ)FÎ(co)( mod^ a ).

Die Zahl Q (œ) ist aber nach der Voraussetzung nicht durch teilbar,und es folgt daher, daß die Zahl

(19) F'i{œ ) = e i cp(co)" i ~ l cp' (co) + pM' (co)

genau dieselbe Potenz von wie die Körperdifferente enthält. Wennhier e i nicht durch p teilbar ist, enthält F¡ (co) genau die Potenz p 1 ' 1 ,indem <p(co) genau durch die erste Potenz von teilbar ist. Wenn aber

Mathematische Annalen. 96.

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