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Ö. Ore.

e- durch p teilbar ist, wird FÍ (m) sicher durch p"' oder eine höherePotenz teilbar. Man hat daher den Dedekindschen Satz"):

Satz 7. Die Körperdifferente ist genau durch teilbar, wo-

bei Qi = 0 , wenn e t - nicht durch p teilbar ist, während ^ 1 , wenn e¡durch p teilbar ist.

Die Zahl g. soll die Supplementzahl des Primideals heißen. Mankann die Supplementzahl folgendermaßen einfach bestimmen : Man schreibtdas Polynom F/ (x) in der Form

(20) F¡ {x)=--'z A s (x)p a *cp{x) s ,

8=0

wobei der Grad von A s {x) kleiner als f\ ist, und weiter wird a s so ge-wählt, daß A s (x)^0 (modp) ist, wenn A i {x)=^Q. (Mit der Ausdrucks-weise, welche später angewandt wird, kann man kurz sagen, daß man dieEntwicklung ( p,cp{x )) von F-(x) bildet.)

Setzt man in (20) x — co, so wird ein Glied

A s {w)p a ' ( p{(o)'

genau durch pi'" s+s teilbar. Zwei verschiedene Glieder in (20) könnennicht durch dieselbe Potenz von teilbar sein, denn aus

e i a a + s = e i a r +r

folgt s =---- r (mod e¿), also s — r. Man hat daher bewiesen:

Satz 8. Wenn R die kleinste unter den Zahlen

e¡K s + s (s = 0, 1, ..., e { — 1)

ist, so wird die Körperdifferente genau durch teilbar. Die Supplement-zahl Q i ist dann durch g¡ = R — e i + 1 bestimmt.

Wenn für alle Primideale die Ordnungen e { und Supplement-zahlen bestimmt sind, so ist auch die Körperdiskriminante d bestimmt.Es folgt nämlich aus (6), daß d genau durch

i >,<•,- i+ e )

(21) p 1=1

teilbar wird.

Es sollen nunmehr eingehend die Eigenschaften der Supplement-zahlen g. untersucht werden. Diese Untersuchungen beruhen alle aufdem Hilfssatz:

°) R. Dedekind, Über die Diskriminanten endlicher Körper, Abhandlungen derKgl. Gesellschaft d. Wissenschaften zu Göttingen 29 (1882).