Definierende Gleichungen und Idealtheorie.

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Satz 9. Es gibt leein Polynom g (x), so daß g'(x) die Form

(22) g'(x) = p a <p(x) kpa Q(x) (modp ffl+1 )h at, wobei Q (x) (mod p) nicht durch <p(x) teilbar ist.

Es sei nämlich ö eine Wurzel der Gleichung <p(x) = 0; im Körperk (tí) wird die Primzahl p unzerlegbar und selbst ein Primideal. Weiterwird

cp (.r) = (x - 0) <p' (tí) + <p" (tílf ...

und

«■.(*) =«(0)..+.(*-0)«'(0)+... ,

wobei die Zahlen cp' (tí) und Q(d) nicht durch 'p teilbar sind. Setzt mandiese Ausdrücke in (22) ein, erhält man für g'(x) eine Entwicklung

g'{x) = pV(0) ,:pa+1 - 1 g(0)( a; - e) kpa+1 ~ 1

+ A¿(x — + 1 -f ... (mod p a+1 ),

und hier ist also der Koeffizient zu (x — g) fcpa+1_1 nicht durch p a+1 teil-bar. Entwickelt man aber auch g(x) nach Potenzen von x — ö. sokann das erste Glied in g'(x) nur durch Differentiation eines GliedesB (x — 6) /,p in g(x) entstehen; dadurch erhält man aber offenbar immerein durch p a+1 teilbares Glied.

Unter Anwendung dieses Hilfssatzes beweise ich zuerst die sogenannteDedekind-Henselsche Ungleichung, welche eine obere Grenze für die Zahleno i gibt. Wenn nämlich die Zahl e { genau durch p s¡ teilbar ist, kann mane i —p s 'e i ' setzen, und es gilt der Satz:

Satz 10. Es ist

(23) &i£s i e i .

Diese Ungleichung ist zuerst von Dedekind 10 ) vermutet, später vonHerrn Hensel 11 ) bewiesen. Vereinfachte Beweise sind von Herrn Bauer 12 )geliefert worden. A. a. O. 13 ) habe ich auch einen anderen einfachen Beweisvon (23) gegeben; der folgende Beweis scheint mir aber der einfachstmögliche zu sein.

10 ) Man sehe die in °) zitierte Arbeit (Schlußbemerkung).

u ) K. Hensel, Uber die Entwicklung der algebraischen Zahlen in Potenzreihen,Math. Ann. 55 (1902) S. 301—336.

12 ) M. Bauer, Uber die Différente eines algebraischen Zahlkörpers, Math. Ann. 83(1921), S 74—76. M.Bauer, Verschiedene Bemerkungen über die Différente undDiskriminante eines algebraischen Zahlkörpers, Math. Zeitsehr. 16 (1923), S. 1 —12.

13 ) Man sehe die Arbeiten: 0. Ore, Bemerkungen zur Theorie der Différente,Math. Zeitsehr. 25 (1926), S. 1—8; Ö. Ore, Uber die Bedeutung der Fundamental-gleichung in der Theorie der algebraischen Körper, Math. Ann. 95 ( 1925 ), S. 239—246.

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